Formulas-de-integracion

Separata de Cálculo I

LIMITES

Limites finitos en puntos finitos

Este es el caso mas habitual: a cada valor que le damos a la variable x, obtenemos un valor para la función y.

Consideremos la función y = x3 y el punto x = 2.

Hagamos una tabla con los valores de y que obtenemos al dar valores a x desde x = 1,9 hasta x = 2 para valores cada vez mas proximos a x = 2

x y

1,9 6,86

1,99 7,880599

1,999 7,988005999

1,9999 7,99880006

1,99999 7,9998800006

Hagamos una tabla con los valores de y que obtenemos al dar valores a x desde x = 2,1 hasta x = 2 con valores cada vez mas próximos a x = 2

x y

2,1 9,261

2,01 8,120601

2,001 8,012006001

2,0001 8,00120006

2,00001 8,0001200006

Como vemos tanto si nos acercamos a x = 2 por la derecha como por la izquierda el valor de y se acerca a 8 (un numero determinado). Este es el comportamiento habitual de las funciones, pero, en algunos casos no ocurre esto.

Definición

Se dice que la funcion y = f(x) tiene como limite el numero L, cuando x tiende a x0 si, para cualquier e , mayor que cero, existe un numero positivo d, tal que, para todos los x distintos de x0 que cumplen la condicion ½ x - x0½ < d, se cumple que ½ f(x) - L½ < e.

Una función y = f(x) tiene limite en el punto x0, si y solo si, los limites de la función existen y son iguales cuando x tiende a x0 por la derecha y por la izquierda.

A) INDETERMINACIÓN

En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.

Ejemplo.-

En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada.

Ejemplo.-

B) INDETERMINACIÓN

En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.

Ejemplo.-

C) INDETERMINACIÓN

Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador.

Ejemplo.-

En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada.

Ejemplo.-

LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

En algunos casos podemos utilizar:

Limites infinitos en puntos finitos

La funcion y = 1/x2 cuando x = 0, tiene un comportamiento diferente, pues el valor de y tiende a infinito a medida que x se acerca a cero, tanto por la derecha como por la izquierda.

x y

0,1 100

0,01 10000

0,001 1000000

0,0001 100000000

0,00001 10000000000

En este caso, cuanto mas nos acercamos a 0 mas crece el valor de y. Se dice que y tiende a infinito.

Definición

La función y = f(x) tiene un limite +infinito o -infinito, cuando x tiende a x0 si para cualquier M positivo, existe un d , mayor que cero, tal que, para todos los x distintos de x0 que cumplen la condicion ½ x - x0½ < d, se cumple que ½f(x)½ >M.

Limites en el infinito

Otro caso a estudiar es cuando x se hace muy grande (tiende a infinito). Supongamos la funcion y = (1 + 1/x). Cuando x se hace muy grande el termino 1/x se hace muy pequeño, por lo tanto y tiende a 1 cuando x tiende a infinito.

x y

100 1,01

1000 1,001

10000 1,0001

100000 1,000001

1000000 1,0000001

Definición

La función y = f(x) tiene un limite L cuando x tiende a +infinito o x tiende a -infinito, si para cualquier e, mayor que cero, es posible encontrar un N, mayor que cero, tal que, para todos los valores de x que cumplen la condicion ½x½ > N, se cumple que ½f(x) - L½ < e.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Criterios de continuidad de una función en un número

Se dice que una función f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

DERIVADAS

Definición de derivada.

La derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente límite, si existe:

A la derivada de una función en un punto se le llama también tasa de variación instantánea.

Interpretación geométrica de la derivada.

La recta secante s, corta a la curva y = f(x), en los puntos A y P.

Su pendiente es:

Si el punto P se va acercando al punto A, hasta confundirse con él, la recta secante s, se transforma en la recta tangente t y el ángulo  se transforma en el ángulo, es decir,

Cuando P  A, que es equivalente a decir que h0, el límite de la recta secante s, es la recta tangente t

Pero cuando   , que es equivalente a

Por tanto,

Queda probado que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto.

Derivadas laterales.

Las definimos por las siguientes fórmulas:

Derivada por la derecha:

Derivada por la izquierda:

Para que una función sea derivable en un punto tienen que existir las derivadas laterales y estas ser iguales.

Función derivada.

La derivada de una función en un punto de abscisa x = a, asigna a dicho punto un número real, que es el valor de la derivada en dicho punto.

También podemos considerar una función que asocie a cada punto x, el valor de la derivada en ese punto. Recibe el nombre de función derivada o simplemente derivada.

Derivación y continuidad.

Si una función es derivable en un punto, es continua en dicho punto. Si la función es continua no tiene por qué ser derivable.

Ejemplo 3

Veamos que esta función es continua en x = 2:

Los límites laterales son iguales. Y como , la función es continua en

Sin embargo no es derivable en dicho punto como vamos a ver:

Existen las derivadas laterales pero como no son iguales,

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