Formulas De Integracion

obtenemos finalmente la FORMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES.

A continuación veremos en algunos ejemplos como utilizar esta fórmula.

Ejemplo 1. Encuentre ∫ x cos(x) dx

Trabajo: Metodos de integracion

Alumno: Daniel de Jesús Núñez Guerra No. Control: 11490252

Materia Calculo Integral

El Método de Cambio de Variable.

Antes de ver la fórmula de cambio de variable, resolveremos algunos ejercicios sencillos

que nos llevarán de manera natural a la mencionada fórmula.

Tomemos la primera fórmula de la tabla de integrales del capítulo anterior:



xdx x k si

a partir de ésta podemos encontrar integrales como

∫ x dx x k 5

, etc.

Sin embargo, si la variable no aparece de manera sencilla en la función a integrar,

¿podemos afirmar que

∫ x −dx x −k 5

(3 5) (3 5)

5

4 ?

La respuesta es NO, pues al derivar el lado derecho no obtenemos el integrando

4

5

3(3 5)

5

(3 5) −





 

x

−

x

dx

d

lo correcto sería

∫ x −dx x −k 5

−5

Análogamente ¿podemos afirmar que ∫ x dx x k 5

(cos ) (cos )

5

4 ?

De nuevo la respuesta es NO, pues al derivar el lado derecho no obtenemos el integrando

lo correcto sería

∫senx x dx −x k 5

(cos ) (cos )

5

4

En el cálculo de estas dos integrales

∫ x −dx x −k 5

3(3 5) (3 5)

5

4 ∫senx x dx −x k 5

(cos ) (cos )

5

4

como una variante de la fórmula

1

El método de Integración por partes

Este método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse como un

producto de una función por la derivada de otra. Más precisamente, deduciremos la fórmula

de integración por partes a partir de la regla para derivar un producto de dos funciones.

[f(x)g(x)]' = f '(x)g(x) + f(x)g'(x)

integrando en ambos lados

∫f(x)g(x)'dx ∫f ' (x)g(x) dx ∫f (x)g'(x) dx

obtenemos:

f (x)g(x) ∫f ' (x)g(x) dx ∫f (x)g'(x) dx

y despejando la segunda integral:

∫

Integrales de funciones trigonométricas

A continuación veremos algunas reglas para integrar cierto tipo de funciones

trigonométricas, que posteriormente se utilizarán en el método de sustitución

trigonométrica.

I. Potencias de senos y cosenos senn x dx n x dx ∫ ∫cos

Para resolver este tipo de integrales, consideraremos dos casos:

a) Si n es impar, es decir n = 2k +1, factorizamos el integrando, por ejemplo

senn x dx = sen2k+1 x dx = (sen2 x)k senx dx

Utilizamos la identidad sen2x + cos2x =1 y tomamos el cambio de variable u =cosx.

De manera análoga en el caso de las potencias del coseno, tomando el cambio de variable

u= senx.

b) Si n es par, es decir n = 2k, factorizamos el integrando, por ejemplo

senn x = sen2k x = (sen2 x)k

ó en el caso del coseno

cosn x = cos2k

...