Funciones Y Modelos

CÁLCULO I

Tema 2:

Funciones y Modelos

Plano Cartesiano. Funciones. Representación. Tipos de funciones. Dominio y Rango. Operaciones con funciones. Función compuesta

Plano Cartesiano

Si en una recta euclidiana (ilimitada en ambos sentidos ) tomamos un punto cualquiera y lo tomamos como punto de origen (0) y a partir de allí, tomando una medida arbitraria como la unidad, gradamos a la derecha la escala de los números enteros positivos y a la izquierda la escala de los números enteros negativos, prácticamente tendremos graficada la escala entera de los números reales. Es llamada la Recta Real.

–              +

-3 -2 -1 0 1 2 3

El filósofo y matemático francés Renato Descartes ( – ), deseoso de relacionar la geometría con el análisis algebraico halló que así como la línea podía relacionarse con el análisis numérico, el plano podía ser relacionado mediante el expediente de colocar dos ejes gradados perpendiculares entre sí. En su honor, se le llamó Plano Cartesiano.

Un punto, en dicho plano, se representa como un par de números ordenados, donde el primero (llamado ABSISA) representa el sitio en el eje horizontal (o eje de las X) y el segundo representa el valor sobre (o debajo) de éste (llamado ORDENADA) medido sobre el eje vertical (o eje de las Y).

Este es el origen de todas esas gráficas que acostumbramos a ver en las reseñas periodísticas financieras y en las caricaturas empresariales. En el mundo financiero hay muchísimas gráficas que se basan en los ejes coordenados. Ej. (FECHAS, VENTAS), (TIEMPO, PRODUCCION), (GASTOS, UTILIDADES), (INVERSIÓN, UTILIDADES), Etc.

Todas las gráficas anteriormente mencionadas, son la utilización práctica de esta idea abstracta, pues el concepto de función es el mejor modelo matemático para describir el procesos de diversos fenómenos de todo tipo.

Gráfica de expresiones algebraicas.

Cuando tenemos una expresión algebraica (Ej. : 3x +5), esta expresión va adquiriendo muchos valores de acuerdo al valor que se le dé a la x, que en este caso ya no llamaremos “incógnita” sino VARIABLE, porque no se busca un valor único de ella, sino que se le van a dar varios, para ver como va cambiando el valor de la expresión.

A dicha expresión, se le puede elaborar una tabla de valores donde a cada valor que se le dé a X, se averigüe que valor adquiere la expresión (Ej.: 3x + 5), y cada punto hallado, viene a constituir parte de la gráfica de esta expresión. Generalmente los valores que se usan para estas tablas son enteros pero como se puede inferir, si le damos valores entre uno y otro entero, se hallarán otros correspondientes al valor que adquiere dicha expresión en cada caso. Mientras más valores usemos, mas valores correspondientes se hallarán. De aquí que se pueda decir que estas gráficas salvo casos especiales que estudiaremos, son CONTINUAS y tienen un solo trazo.

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4

3x + 5 -4 -1 2 5 8 11 14 17

Tabla de valores de 3x + 5:

Y

+ 



+ 8 •

+ 6

•

+ 4

• + 2 .

  +  X

--3 –2 •–1 0 1 2 3 .

+ –2

• + – 4 .

+ – 6

Relaciones y Funciones.

Cuando dos personas están iniciando un romance, se dice “Fulanita y Perencejo tienen relaciones”

Al transcurrir del tiempo, en algunas ocasiones sucede que dicha relación se hace desequilibrada. Uno de los dos, digamos Perencejo hace lo que le viene en gana, mientras la pareja, en este caso Fulanita, hace lo que a Perencejo le da la gana. Todos hemos oído algo muy parecido a esta frase: “Es que Fulanita vive en función de Perencejo” o viceversa. Con ello se quiere indicar que Fulanita no tiene vida propia. Fulanita es una variable Dependiente, depende de lo que diga o haga Perencejo. En cambio. Perencejo es la variable Independiente. No se que ámbito le quitó la expresión a quien, si la matemática la tomo del ejemplo de la vida común, o fue la vida común la que la tomó .de la matemática, pero la correspondencia es exacta:. Y definitivamente la de Fulanita y Perencejo no es una Relación, es una Función.

En cambio, cuando en una pareja hay cierta libertad de escoger, cuando a lo que dice o hace Perencejo, Fulanita puede optar por varias repuestas, y viceversa, entonces se dice “¡que buena relación tienen Fulanita y Perencejo!”.Y en esto, también la correspondencia entre la vida y la expresión matemática se cumple, como veremos.:

Cuando una expresión algebraica va a ser graficada, siempre que a cada valor de x solo corresponda UN SOLO valor de y, se le llama FUNCION. Ej.: y = 3x2 + 2x + 5 ; y = 3x(1/2)

La Variable Independiente (x), es la que va tomando distintos valores.

La Variable Dependientes (y), depende de los valores que vaya tomando x

Cuando se da el caso de que por cada valor de x puede haber DOS O MÁS valores para y, se llama una RELACION. Ej.1: y2 = 2x3 – 4x + 5 , Ej.2 : y2 + x2 = 25

Una Función se puede generalizar por el símbolo (x)

y = (x)

Ahora bien, si se debe particularizar, se dice que (x) = 3x + 5

Como al graficar, el eje sobre el que se grafica es el eje Y, también se puede decir que:

De la misma manera e idéntico raciocinio, se ve que y = 3x + 5.Entonces y es la Variable Dependiente. O simplemente la expresión 3x + 5 pues así ya se puede graficar.

Supongamos que tenemos un vecino, al cual incluso le damos los buenos días cada mañana, pero con quien nunca hemos conversado y ni el nombre le sabemos. ¿Lo conocemos?

Por otro lado, supongamos que por cualquier razón charlamos con una persona día a día telefónicamente o por chat de quien incluso podemos saber su nombre, pero nunca la hemos visto. ¿La conocemos?

Como se ve, sólo podemos decir que conocemos a una persona cuando la podemos RECONOCERLA. Cuando la vemos, podemos decir se llama "Fulano de Tal", cuando podemos prever algo por su manera de ser y cuando podemos recordar y describir su imagen, o sea Nombre, Esencia y Figura Lo mismo pasa con las funciones

Conocer una función consiste

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