Las Funciones Como Modelos Matematicos

INDICE

PORTADA ………………………………………………………………………….1

INDICE ………………………………………………………………………….2

OBJETIVOS ………………………………...………………………………………..3

CONTENIDO ………………………..…………………………………………… 4-14

CONCLUSIONES …………………………...……………………………………15

BIBLIOGRAFIA …………………………….…………………………………..16

OBJETIVOS

 General

• El estudio de las funciones y su aplicación como modelos matemáticos.

 Específicos

• Conocer la definición de las diferentes funciones, las formulas de aplicación de estas mismas, ejemplos de cada una de ellas y la aplicación como modelos matemáticos en situaciones reales.

MARCO TEÓRICO.

LAS FUNCIONES COMO MODELOS MATEMATICOS.

En primer lugar iniciaremos definiendo el concepto de una función y un modelo matemático.

CONCEPTOS.

FUNCION:

 Una función, aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). Se denota por:

 Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota , en lugar de

Para que haya una función se pide que se cumplan las siguientes dos condiciones:

1. Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir,

2. Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir, si

MODELO MATEMATICO: Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad. El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro.

Entonces diremos que las FUNCIONES COMO MODELO MATEMÁTICO es:

El aplicar las matemáticas a los problemas de la vida real, el cual comprende tres etapas: Primero se traduce el problema a términos matemáticos, entonces decimos que tenemos un modelo matemático. Después se obtiene la solución del problema matemático. Por último, se interpreta esta respuesta matemática en términos del problema original.

El proceso para elaborar un modelo matemático es el siguiente:

1. Encontrar un problema del mundo real

2. Formular un modelo matemático acerca del problema, identificando variables (dependientes e independientes) y estableciendo hipótesis lo suficientemente simples para tratarse de manera matemática.

3. Aplicar los conocimientos matemáticos que se posee para llegar a conclusiones matemáticas.

4. Comparar los datos obtenidos como predicciones con datos reales. Si los datos son diferentes, se reinicia el proceso.

Es importante mencionar que un modelo matemático no es completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealización.

Hay una gran cantidad de funciones que representan relaciones observadas en el mundo real; las cuales se analizarán en los párrafos siguientes, tanto algebraicamente como gráficamente.

Los diferentes tipos de funciones que hay son:

Modelos lineales Polinomios Funciones potencias Funciones racionales Funciones trigonométricas Funciones exponenciales Funciones logaritmos Funciones transcendentes

A continuación se detallan cada una de las funciones.

 Función Lineal.

Se dice que una función es lineal cuando su gráfica es una línea recta; y por consecuencia tiene la forma:

y = f(x) = mx + b

Donde m representa la pendiente de la recta y b la ordenada al origen (el punto en el que la recta interfecta al eje de las "y"). Es importante mencionar que este tipo de funciones crecen a tasa constante; y su dominio e imagen son todos los números reales.

 Función cuadrática o función de segundo grado.

Es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:

Gráficas de funciones cuadráticas.

Donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.

La representación gráfica en el plano XY haciendo:

Esto es:

Es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.

 Funciones Polinómica o constante.

Se llaman funciones polinómicas a las funciones que tienen por ecuación a un polinomio.

Si f(x) = anxn + an-1xn-1 +... + a0, donde an ≠ 0, entonces se dice que f(x) es una función algebraica polinómica de grado n.

Ejemplo de funciones polinómicas, :

f(x) = 2x3 - 4x/3 + 3 y g(x) = x5 – 3x² + x – 1

Las funciones polinómica tienen dominio real o sea D = ℜ y su gráfica es continua en todo su dominio.

Ejemplo de grafica de función polinómica.

 Función constante.

La forma canónica de la función constante es f(x) = c, donde c es un número real

Cualquiera. Esta función asocia a todo valor de x ese valor constante c. Su dominio es ℜ,

Y su rango {c}. La función constante no es inyectiva, por consiguiente su inversa,

x = c,

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