Funciones

Función

Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda (o ninguno), que llamamos imagen o transformado.

A la función se le suele designar por f y a la imagen por f(x), siendo x la variable independiente.

• Variable independiente: Es la que se fija previamente.

• Variable dependiente: La que se deduce de la variable independiente.

El origen del concepto de función ha estado siempre unido al estudio de los fenómenos sujetos a cambios. Las referencias más antiguas al concepto de función se encuentran en algunos escritos de astrónomos babilonios. En la Edad Media el estudio de funciones aparece ligado al concepto de movimiento, siendo uno de los primeros en realizarlo Nicolás de Oresme (1323-1392), el cual representó en unos ejes coordenados gráficos relacionados con el cambio de la velocidad respecto al tiempo.

Tres siglos más tarde, Galileo en 1630, estudió el movimiento desde un punto de vista cuantitativo, justificándolo experimentalmente y estableciendo a partir de ello, leyes y relaciones entre magnitudes. A partir del mismo, el concepto de función fue evolucionando hasta que a comienzos del siglo XIX, en 1837, Dirichlet formuló la definición de función como relación entre dos variables, que es la que actualmente aceptamos y manejamos.

Vamos a comenzar el estudio de las funciones dando su definición actualmente aceptada, relativamente moderna para la importancia del concepto. Para ello, necesitamos conocer primero lo que es una aplicación.

Una aplicación es una ley de asignación entre dos conjuntos, que pueden ser numéricos o no.

Usaremos la flecha para indicar el sentido de la aplicación, es decir, cuál es el conjunto origen y cuál el destino. Lo denotaremos:

s : X Y

Con ello queremos expresar que la aplicación s asocia o relaciona los elementos de X (origen) con los elementos de Y (destino).

Ejemplo: s: X (Y aplicación)

X Y

En este ejemplo, la aplicación relaciona los elementos de X (números) con los de Y (letras). Las flechas indican los elementos emparejados entre sí:

s : 1 b 2 c 3 d 4 b

También se puede expresar la aplicación como conjunto de pares: s = {(1, b) (2, c) (3, d) (4, b)} con el criterio de que el primer valor de cada par pertenece al conjunto origen y el segundo valor del par pertenece al conjunto destino.

Los elementos del conjunto de partida X se llaman orígenes y los del conjunto de llegada Y se llaman imágenes.

Una aplicación debe entenderse como cualquier ley que asocie elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto, sin más condiciones. Este concepto debe refinarse hasta llegar al de función matemática.

La idea que subyace en el núcleo central del concepto de función, es la de relación de dependencia entre magnitudes o variables. Al estudiar un fenómeno cualquiera, se suele observar que las magnitudes o cantidades que intervienen presentan una relación entre ellas, de forma que una de las magnitudes depende de la otra. La expresión analítica de esa relación de dependencia es la función.

Clasificación de Funciones Matemática

Las funciones tienen una amplia clasificación, como se muestran a continuación:

1. Funciones Algebraicas:

• Polinómicas: Constantes de 1” grado cuadráticas.

• Racionales.

• Radicales.

• A trozos.

2. Funciones transcendentes:

• Exponenciales.

• Logarítmicas.

• Trigonométricas.

Función Inyectiva

Una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de. Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales, dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Cardinalidad e Inyectividad

Dados dos conjuntos y entre los cuales existe una función inyectiva tienen cardinales que cumplen: Si además existe otra aplicación inyectiva, entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.

Función Biyectiva

Una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Formalmente, para ser más claro se dice que una función es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva. Sumándole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la función sobreyectiva

Teorema

Si es una función biyectiva, entonces su función inversa existe y también es biyectiva.

Ejemplo.

La función es biyectiva.

Luego, su inversa también lo es.

Función Sobreyectiva

Una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen, o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

Realizar el Estudio de las Siguientes Funciones:

Función Lineal

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.

Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).

Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2

Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)

Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos

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