Funciones

14/04/08

Funciones

Relación: condición en la que se satisface dos o varias magnitudes.

En matemáticas las relaciones entre dos o más magnitudes están relacionadas (condiciones por una ecuación)

Ecuación: es una igualdad que solo se verifica para valores convenientes de determinadas cantidades que figuran en ella.

Ej.: x + 7 = 11  esto es una ecuación.

Es una igualdad que solo se verifica, para en este caso el único valor comunicante que las satisface.

Ej.: x2 – 3y + 2= 0  esto es una ecuación.

Es una relación, ya que se condiciona, le iguala bajo la ecuación a el valor “y” de el resultado de sumar el valor que se le da a “x” mas cinco. Para este caso se puede apreciar que existen infinitos valores que le corresponden a “y”.

Todas las relaciones pueden ser graficadas para el caso de la relación entre “x” y “y” se utiliza el plano numérico. También las relaciones pueden ser representadas en forma tabular y en forma analítica.

15/04/08

Plan Numérico: es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales y cada pareja coordenada (x, y) se le denomina punto del plano. El plan de los números reales se denota por: R2.

Se escoge una recta horizontal en el plano y se le denomina eje “x”.

Se elige una recta vertical en el plano y se le denomina “y”.

El punto de intercepción del eje “x” y el eje “y” recibe el nombre de origen y se denota “0”. Se establece que el sentido positivo en el eje “x” es hacia la derecha y se establece el sentido positivo en el eje “y” hacia arriba.

Ejercicio: representar en el plano todos los puntos coordenados (x, y), así para los puntos:

a) (-4, 5)

b) (-6, 0)

c) (-8, -6)

d) (0, -4)

e) (4, 8)

f) (1, 1)

g) (8, 5)

h) (9, -7)

i) (Π, 3 Π)

j) (Tg45, sen30)

k) (√3, √7)

l) (℮, lg25)

m) (-1/5, 8/3)

n) (3/8, 7/2)

ñ) (-4/3, 8/3)

Forma tabular: para presentar en forma tabular (con una tabla) una ecuación, se le asignan valores a (x, y) se obtienen los correspondientes valores de y. Estos valores serán representados en una tabla.

Ej.: Dada la ecuación y = x – 2, representarla en forma tabular, analítica y grafica.

Elaboramos la tabla dándole valores a “x” obteniendo los respectivos “y”.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

Nota: sustituyendo los valores en “x” se obtienen los valores en “y”:

X -3 -2 -1 0 1 2 3

y -5 -4 -3 -2 -1 0 1

Para la forma analítica se tiene Y = x – 2

Para la forma Grafica se tiene:

Observe que la gráfica de la ecuación en R2 es el conjunto de todos los puntos (x, y) en R2 cuyas coordenadas son números que satisfacen la ecuación.

Ej.: trace la siguiente ecuación:

Y2 – x – 2 = 0

 y2 – x – 2 = 0

 y2 – 2 = x

y -3 -2 -1 0 1 2 3

x 7 2 -1 -2 -1 2 7

16/04/08

Ejercicios:

Trace la grafica de las siguientes ecuaciones:

a) y = 2x + 5

b) y = √x+5

c) y = - √x+5

d) y2 = x – 3

e) y = - 3

f) y = 3 – x

g) 4x2 - 9y2 = 36

h) 2y = - x3

i) y2 = 4x3

j) y = 4x – 3

k) y = √x-3

l) y = - √x – 3

m) y = 5

n) y = y2 + 1

o) 4x2 + 9y2 = 36

p) y = 4 + x2

q) y = 4x2

Función: (Según Leithold) es un conjunto de parejas ordenadas de números (x, y) en el cual no hay dos parejas coordenadas distintas que tengan el mismo primer numero. El conjunto de todos los valores posibles de “x” se llama dominio de la función y el conjunto de todos los valores posibles de “y” se denomina contradominio, imagen, o rango “de la función”.

Ej.: 1 4 1 4 1 4 1) Es función

2 5 2 5 2 5 2) No es función

3 6 3 6 3 6 3) Es función

Luego una ecuación o relación será una función si y solo si a el valor de la variable “x” le corresponde un único valor de “y”.

Ej.: Sea y = x – 3. Determinar si es una función.

Y = X – 3

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

Ej.: Sea y2 = x + 2. Determinar si es una función.

Y2 = x + 2

 y2 – x – 2 = 0

 y2 – 2 = x

y -3 -2 -1 0 1 2 3

x 7 2 -1 -2 -1 2 7

...