Función Afin

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR

INSTITUTO PEDAGÓGICO DE CARACAS

GUÍA TEÓRICO-PRÁCTICA Nº 1

FUNCIONES

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN: Sean A y B dos conjuntos arbitrarios. Diremos que f es una función o aplicación de A en B si y sólo si f es una relación entre A y B, tal que todo elemento de A tiene un único correspondiente en B.

También podemos definir función como sigue:

Diremos que f es una función o aplicación de A en B si y sólo si f es un subconjunto de AB que satisface las siguientes condiciones de existencia y unicidad:

a) Para todo aA, existe bB tal que (a,b)f

b) Si (a,b)f y (a,c)f, entonces b = c.

Si (a,b)f diremos que b es el correspondiente o imagen de a mediante f o el valor de f en a, y escribiremos b = f(a). También, se dice que a es la preimagen de b mediante f.

Ejercicios y Problemas:

1. Indique cuáles de las siguientes relaciones son funciones y justifique sus respuestas:

(a) f = {(a,1), (u,5), (i,3), (e,2), (o,4)}  {a,e,i,o,u}  {1,2,3,4,5}

(b) f = {(r,x),(s,y),(t,w)}  {r,s,t}  {x,y,z,w}

(c) f = {(1,1), (4,2), (1,1), (4,2)}  {1,4}  {1,1,2,2}

(d) f = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}  {1,2,3,4,5,6}  {1,2,3,4,5,6}

(e) f = {(x,y)AB / y = 2x}, donde A = {1,2,3} y B = {2,6,4}

2. Dada f(x) = 2x  1, encuentre f(3), f(2), f(0) y f(a+1).

3. Dada f(x) = x2  3x + 5, encuentre f(0), f(3), f(3), f(2x) y f(x1).

4. Dada f(x) = , encuentre f(1), f(3), f , f y .

5. Dada f(x) = , encuentre f(1), f(4), f , f(11) y f(2x+3).

DOMINIO, CODOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN:

Consideremos la función f: A  B.

El dominio de f es el conjunto de partida A, y lo representaremos por Dom(f) o Df.

El codominio de f, llamado también conjunto de valores de f, es el conjunto de llegada B, y lo representaremos por Codom(f) o Cf.

El rango de f, llamado también contradominio o recorrido de f, es el conjunto de todas las imágenes correspondientes a todos los elementos del dominio de f, y lo representaremos por Ran(f) o Rf. Nótese que Ran(f)  Codom(f).

Ejemplo: Sea la función f: {4,2,0,2,4}  {2,1,0,1,2}, definida por la ecuación y = f(x) = . En este caso, el dominio, el codominio y el rango de f son:

Dom(f) = Df = {4,2,0,2,4}

Codom(f) = Cf = {2,1,0,1,2}

Ran(f) = Rf = {0,1,2}

Ahora bien, como nuestro interés va a estar centrado en el estudio de funciones cuyos dominios y codominios sean subconjuntos de R (estas funciones son llamadas funciones reales de una variable real), estableceremos lo siguiente: cuando una función f: x  f(x) sea real de variable real y no se indique un dominio específico para la misma, este dominio vendrá dado por el conjunto de todos los valores admisibles de xR, esto es, el conjunto de todos los valores reales de x para los cuales la imagen de x existe y es también un número real. En cuanto, al codominio de una función f real de variable real se asumirá siempre que Codom(f) = R, mientras no se indique otra cosa.

Ejemplos:

El dominio de la función f: x  3x  1 es R.

El dominio de la función g: x  es R* = R{0}.

El dominio de la función h: x  logx es R+ = (0,+).

El dominio de la función h: x  es [1,+).

Ejercicios y Problemas:

1. Determine el dominio y el rango de las funciones que se definen a continuación:

1.1. f(x) = 4  2x 1.2. f(x) = 2x2  6

1.3. f(x) = 1.4. f(x) =

1.5. f(x) = 1.6. f(x) =

1.7. f(x) = 1.8. f(x) =

1.9. f(x) =  1.10. f(x) =

1.11. f(x) = 7  3x4  x6 1.12. f(x) =

2. Halle el dominio de las funciones que se definen como sigue:

2.1. f(x) = 2x4 + 4x2 + 6 2.2. f(x) =

2.3. f(x) = 2.4. f(x) =

2.5. f(x) = 2.6. f(x) =

2.7. f(x) = 2.8. f(x) =

FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS:

Son funciones que se definen por más de una ecuación, como se muestran en los siguientes ejemplos:

f(x) = g(x) =

Ejercicios y Problemas:

1. Dada f(x) = , obtenga: f(1), f(0), f(1,5), f(2), f( ), f(1000).

ÁLGEBRA DE FUNCIONES:

Dadas dos funciones f y g, se definen las siguientes operaciones:

Adición: (f+g)(x) = f(x) + g(x), donde Dom(f+g) = Dom(f)Dom(g)

Sustracción: (fg)(x) = f(x)  g(x), donde Dom(fg) = Dom(f)Dom(g)

Multiplicación: (f•g)(x) = f(x) • g(x), donde Dom(f•g) = Dom(f)Dom(g)

División: (x) = ,

donde Dom = Dom(f){xDom(g) : g(x) 0}

Composición: (fog)(x) = f(g(x)),

donde Dom(fog) = {xDom(g) : g(x)Dom(f)}

Ejercicios y Problemas:

1. Hallar f+g, fg, f•g, f/g, g/f, gof, fog, donde:

1.1. f(x) = x + 3 ; g(x) = 2x  1

1.2. f(x) = ; g(x) = x3

1.3. f(x) = x2  1 ; g(x) =

2. Dadas las funciones que se definen como sigue:

f(x) = ; g(x)

...