Gradiente de un escalar

Gradiente de un escalar.

El gradiente de un campo escalar 𝑽 es un vector que representa tanto la magnitud como la dirección de la máxima rapidez de incremento espacial de

𝑽. 

Se puede expresar matemáticamente al evaluar la diferencia en el campo 𝑑𝑽 entre dos puntos 𝑃1 y 𝑃2. Tomamos 𝑉1, 𝑉2 y 𝑉3 como contornos en los que 𝑽 es constante. Usando el cálculo tendremos que: [pic 1]

        𝜕𝑉        𝜕𝑉        𝜕𝑉

𝑑𝑉 =        𝑑𝑥 +        𝑑𝑦 +        𝑑𝑧 [pic 2]

        𝜕𝑥        𝜕𝑦        𝜕𝑧

        𝜕𝑉        𝜕𝑉        𝜕𝑉

        [pic 3] (𝑑𝑥 𝒆𝑥 + 𝑑𝑦 𝒆𝑦 + 𝑑𝑧 𝒆𝑧) 

        𝜕𝑥        𝜕y        𝜕z

Simplificando, sea  

        𝜕𝑉        𝜕𝑉        𝜕𝑉

        𝑮 =        𝒆𝒙 +        𝒆𝒚 +        𝒆𝒛 [pic 4]

        𝜕𝑥        𝜕y        𝜕z

Luego

𝑑𝑉 [pic 5] 𝐺 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝑙 

o bien:

𝑑𝑉

[pic 6] = 𝐺 𝑐𝑜𝑠 𝜃 

𝑑𝑙

Donde 𝑑𝒍 es el desplazamiento diferencial de 𝑃1 a 𝑃2 y 𝜃 es el ángulo entre 𝑮 y 𝑑𝒍. De la ecuación anterior, se deduce que 𝑑𝑉/𝑑𝑙 alcanza un máximo cuando 𝜃 = 0, es decir, cuando 𝑮  está en la misma dirección que 𝑑𝒍. Así:

        𝑑V        𝑑V

        [pic 7]|        = [pic 8] = 𝐺 

        𝑑𝑥 máx        𝑑n

Donde 𝑑𝑉/𝑑𝑛 es la derivada normal. Así, la magnitud y la derivada de 𝐺 son las de la máxima rapidez de cambio de 𝑉. Por definición, entonces, 𝑮 es el gradiente de 𝑉, de este modo:

        𝜕𝑉        𝜕𝑉        𝜕𝑉

𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 [pic 9] 𝒆𝒛 

        𝜕𝑥        𝜕y        𝜕z

Este gradiente se puede expresar en coordenadas cartesianas:

        𝜕𝑉        𝜕𝑉        𝜕𝑉

[pic 10]𝑉 [pic 11] 𝒆𝒛 

        𝜕𝑥        𝜕y        𝜕z

También en coordenadas cilíndricas:

        𝜕V        [pic 12] 𝜕𝑉        𝜕𝑉

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