Guia de Algebra Lineal

[pic 1]

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICE-RECTORADO BARQUISIMETO

GUIA DE ALGEBRA LINEAL

(Resumen teórico)

MATRICES

Definición (Matriz):

Sea K un cuerpo, definimos entonces una matriz A como un arreglo rectangular de  escalares (elementos del cuerpo K) de la forma[pic 2]

[pic 3]

Como esta matriz tiene m filas y n columnas diremos que A es de orden  [pic 4]

La matriz anterior también se denota por  [pic 5]

Nótese que el elemento  perteneciente a K, llamado entrada  o componente , aparece en la fila i-ésima y columna j-ésima de A.[pic 6][pic 7][pic 8]

NOTA:

1. Las entradas de nuestras matrices procederán de un cuerpo K arbitrario pero fijo, aunque usualmente K es el cuerpo real R o el cuerpo complejo C.
2. El conjunto de matrices de orden  sobre el cuerpo K se denota por  [pic 9][pic 10]

Definición (Matriz cuadrada):

Diremos que A es una matriz cuadrada de orden n, denotada por  si se cumple que el número de filas es igual al número de columnas.[pic 11]

Definición (Diagonal principal):

Sea  una matriz cuadrada. La diagonal principal de A consiste en los elementos .[pic 12][pic 13]

Definición (Traza de una matriz):

Sea  una matriz cuadrada. La traza de A, escrito , es la suma de los elementos de la diagonal principal, es decir,[pic 14][pic 15]

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Definición (Igualdad de Matrices):

Dos matrices A y B son iguales, si tienen el mismo tamaño y las entradas correspondientes coinciden. En otras palabras, si  y  y además si A = B entonces [pic 17][pic 18][pic 19]

Definición (Matriz nula):

Definimos la matriz nula como aquella matriz de orden  que tiene todas sus componentes iguales a cero, la cual denotaremos por  o simplemente [pic 20][pic 21][pic 22]

Definición (Matriz opuesta):

Sea  definimos la matriz opuesta de A, denotada por (−A), como la matriz que se obtiene al cambiarle el signo a todas las entradas de A.[pic 23]

Definición (Matriz diagonal):

Decimos que la matriz cuadrada  es una matriz diagonal si todas las entradas fuera de la diagonal principal son nulas, donde algunos o todos los  pueden ser cero. Esto es: [pic 24][pic 25][pic 26]

Definición (Matriz escalar):

Una matriz cuadrada y diagonal  se dice que es una matriz escalar si todos los términos de la diagonal principal son iguales entre si, es decir,  y  donde k es un escalar [pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

Definición (Matriz identidad):

La matriz cuadrada de orden n que contiene “unos” (1) en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por , se conoce como matriz identidad.[pic 31]

Definición (Matriz triangular superior):

Una matriz cuadrada  es una matriz triangular superior si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero, es decir, si [pic 32][pic 33]

Definición (Matriz triangular inferior):

Una matriz cuadrada  es una matriz triangular inferior si todas las entradas por encima de la diagonal principal son iguales a cero, es decir, si [pic 34][pic 35]

Definición (Matriz transpuesta):

La transpuesta de una matriz, denotada por , es la matriz que se obtiene al escribir las filas de A, en orden, como columnas.[pic 36]

En otras palabras, si  , entonces  con [pic 37][pic 38][pic 39]

Definición (Matriz simétrica):

Una matriz cuadrada  es simétrica si  Es decir, A es simétrica si es una matriz cuadrada tal que [pic 40][pic 41][pic 42]

NOTA:

Si la matriz A es simétrica, entonces los elementos de A son simétricos con respecto a la diagonal principal de A.

Definición (Matriz antisimétrica):

Una matriz cuadrada  es antisimétrica si  Es decir, A es antisimétrica si es una matriz cuadrada tal que  [pic 43][pic 44][pic 45]

NOTA:

Si A es antisimétrica entonces los elementos de la diagonal principal de A son iguales a cero.

Definición (Ley interna suma en el conjunto de matrices):

Sean  y  dos matrices del mismo orden, entonces se define la suma de A y B como otra matriz C de orden  obtenida al sumar las entradas correspondientes de ambas, esto es:[pic 46][pic 47][pic 48]

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NOTA:

La diferencia de dos matrices A y B de orden  se define por:[pic 50]

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Definición (Ley externa producto por escalar en el conjunto de matrices):

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