INTRODUCCION AL METODO DE ELEMENTOS FINITOS

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Por ensamblaje de las matrices y vértices anteriores según la tabla de conectividad se obtiene:

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b) En el problema las dos condiciones de contorno son esenciales.

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En la aplicación de estas dos condiciones mediante el método de eliminación se eliminan de la matriz de rigidez las filas y columnas correspondientes a los desplazamientos especificados, en este caso los nudos 1 y 4. Lo mismo se hace en el vector de cargas  para las filas 1 y 4. Además, al ser distinto de cero el desplazamiento en el nudo 4, la anulación de la columna 4 de  exige añadir al vector de cargas aquellas aportaciones no nulas debidas a ese desplazamiento. Se tiene el sistema:[pic 10][pic 11]

[pic 12]

Que resuelto da:

[pic 13]

[pic 14]

c) El cálculo de las reacciones en los nudos 1 y 4 es directo usando (3.38). Se tiene:

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Sustituyendo los valores de los desplazamientos nodales resulta:

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[pic 18]

La suma de estos dos valores iguala, excepto errores de redondeo, la carga total aplicada sobre la barra.

d) La obtención de los esfuerzos elementales es inmediata por aplicación de (3.18) a partir de la aproximación de los desplazamientos en cada elemento. Se tiene:

• Elemento 1

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• Elemento 2

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• Elemento 3

[pic 21]

Ejemplo 3.10.  Resolver el ejercicio anterior empleando el método de penalización para imponer las condiciones de contorno esenciales.

Solución: Se parte de la misma matriz de rigidez global y del mismo vector de carga global del ejercicio anterior. Al estar impuestos los desplazamientos en los nudos 1 y 4, se agrega un número grande X a los elementos de la diagonal de la primera y cuarta filas. Suponemos por ejemplo, X = . En las filas 1 y 4 del vector de cargas se añade a las cargas equivalentes este mismo número multiplicado por el valor de los desplazamientos impuestos en los nudos 1 y 4, respectivamente. El sistema de ecuaciones resultante queda como:[pic 22]

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Que resuelto da:

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Según (3.39) las reacciones coinciden con las fuerzas ejercidas por los muelles de rigidez X sobre la estructura. Se tiene:

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El cálculo de los esfuerzos es similar al ejercicio anterior tomando los valores de la expresión (b).

Problema 3.7. Considerar el problema del ejemplo 3.9 con la siguiente modificación: el nudo 4, de desplazamiento desconocido, se halla apoyado sobre un muelle elástico de constante  conocida (figura 3.15). El valor del desplazamiento en el apoyo derecho también es conocido. Plantear el sistema de ecuaciones que permite obtener los desplazamientos nodales desconocidos empleando.[pic 27][pic 28]

1. El método de eliminación
2. El método de penalización

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Ejemplo 3.11. La barra de la figura 3.16 se modeliza con tres elementos de dos nudos longitudes respectivamente. Sobre la misma se tienen las siguientes condiciones de contorno[pic 30]

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Desarrollar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la estructura modificada con las condiciones de contorno del problema.

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Solución: operando con funciones de forma lineales se obtienen las matrices de rigidez y el vector de cargas elementales.

• Elemento 1

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• Elemento 2

[pic 35]

• Elemento 3

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Ensamblando se obtienen la matriz de rigidez global y el valor de cargas global.

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Para aplicar las condiciones de contorno se va a aplicar el método de eliminación. La inclusión de la condición en el nudo 1 es inmediata siguiendo el mismo procedimiento del ejemplo 3.9. La inclusión de la segunda condición, se lleva a cabo eliminando la cuarta fila y la cuarta columna de y reorganizando el sistema de ecuaciones resultante mediante la imposición de esa condición queda:[pic 39][pic 40]

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Problema 3.8. Resolver el ejercicio anterior empleando el método de penalización para imponer las siguientes condiciones de contorno:

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Problema 3.9. La estructura de la figura 3.17 consiste en una barra horizontal infinitamente rígida de masa despreciable soportada por dos barras verticales de aluminio (E = 70.. Tomando un mallado de dos elementos finitos lineales determinar:[pic 44]

1. Las condiciones del contorno del modelo
2. Los esfuerzos en los elementos

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Ejemplo 3.12. Se tiene una pared constituida por dos muros de ladrillo separados por un muro de un material aislante (figura 3.18). La temperatura exterior del muro es de 20°C mientras que la anterior es de 50°C. Determinar la distribución de temperatura para todos los puntos de la pared.

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Solución: El problema se puede tratar en una dimensión. En la pared inferior de la figura 3.18 se muestra el mallado constituido por tres elementos, uno por cada material. La determinación de la matriz de rigidez global se obtiene por ensamblaje de las correspondientes matrices elementales las cuales se calculan a partir de las funciones de base definidas en (3.11), (3.12) y (3.13)

• Elemento 1

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Suponiendo una sección transversal unitaria para cada elemento se tiene:

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• Elemento 2

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