Introduccion Al Metodo Numerico

INTRODUCCION AL METODO NUMERICO

PRESENTACION

Al momento de aplicar las Matemáticas a situaciones del mundo real nos encontramos a menudo con problemas que no pueden ser resueltos analíticamente o de manera exacta y cuya solución debe ser abordada con ayuda de algún procedimiento numérico. A continuación consideramos algunos problemas típicos, ya formulados matemáticamente, para los cuales estudiaremos técnicas numéricas de solución. Este libro nace después de una experiencia en la enseñanza del curso del mismo nombre en la Universidad Cesar Vallejo de Piura, durante cinco años. En la primera parte estudiamos la teoría de errores, en la segunda parte la interpolación lineal y la interpolación polinomial aplicada a la solución de derivadas. Aplicamos a la solución de ecuaciones no lineales, los métodos de bisección, punto fijo y Newton Raphson y para las ecuaciones lineales los métodos de Gauss Jordan. En el caso de las integrales definidas, aplicamos los métodos del trapecio, método de Simpson 1/3 y Simpson 3/8. Concluyendo este libro con la solución numérica de ecuaciones diferenciales, mediante los métodos de Euler y Runge Kutta.

¿Qué es un método numérico?

Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos (operaciones aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo preposicional, etc.). Un tal procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas (algoritmo), que producen o bien una aproximación de la solución del problema (solución numérica) o bien un mensaje. La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (los computadores). En general, al emplear estos instrumentos de cálculo se introducen errores llamados de redondeo. Importancia de los métodos numéricos.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos (operaciones aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo preposicional, etc.). (Ricardo seminario Vázquez).

En si los métodos numéricos son procedimientos lógicos que se realizan a partir de los problemas planteados matemáticamente y de manera aritmética.

Son herramientas poderosas que se usan en la formulación de problemas complejos que requieren un conocimiento básico en matemáticas e ingeniería.

Si conocemos bien los métodos numéricos podemos diseñar programas propios y así no comprar el software costoso.

En el proceso de solución de problemas por medio de computadoras se requieren los pasos siguientes.

- Especificación del problema. Con esto se indica que se debe identificar perfectamente el problema y sus limitaciones, las variables que intervienen y los resultados deseados.

- Análisis. Es la formulación de la solución del problema denominada también algoritmo, de manera que se tenga una serie de pasos que resuelvan el problema y que sean susceptibles de ejecutarse en la computadora.

- Programación. Este paso consiste en traducir el método de análisis o algoritmo de solución expresándole como una serie detallada de operaciones.

- Verificación. Es la prueba exhaustiva del programa para eliminar todos los errores que tenga de manera que efectúe lo que desea los resultados de prueba se comparan con soluciones conocidas de problemas ya resueltos.

- Documentación. Consiste en preparar un instructivo del programa de manera que cualquier persona pueda conocer y utilizar el programa.

- Producción. Es la última etapa en la que solo se proporcionan datos de entrada del programa obteniéndose las soluciones correspondientes. (LUTHE, Rodolfo y otros Métodos Numéricos, 1980).

Se necesita un conocimiento amplio de los problemas y de los campos de las matemáticas relacionados con el objeto de los métodos numéricos para computadora.

Las soluciones que ofrecen los métodos numéricos son aproximaciones de los valores reales y, por tanto se tendrá un cierto grado de error que se tiene que determinar.

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Esto incluye errores de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos

Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos.

El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.

El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.

Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:

 Cálculo de derivadas

 Integrales

 Ecuaciones diferenciales

 Operaciones con matrices

 Interpolaciones

 Ajuste de curvas

 Polinomios

Los métodos numéricos son adecuados para la solución de problemas comunes de ingeniería, ciencias y administración, utilizando computadoras electrónicas.

En el proceso de solución de problemas por medio de computadoras se requieren los pasos siguientes.

* Especificación del problema. Con esto se indica que se debe identificar perfectamente el problema y sus limitaciones, las variables que intervienen

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