Inecuaciones

Inecuaciones.

Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numé-ricas o algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad,

Por ejemplo:

, etc. ...

Las desigualdades, al igual que las igualdades pueden ser ciertas o falsas, así, en los ejemplos:

la primera es falsa, la segunda depende del valor que le demos a x, y la tercera es verdadera.

Las desigualdades en las que interviene una variable se denominan inecua¬cio¬nes.

Propiedades de las desigualdades:

Se denominan también transformaciones de equivalencia.

Suma: si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma expresión o cantidad, la desigualdad no varía:

Transposición: consiste en restar a ambos miembros de la desigualdad una misma cantidad, pero de modo que uno de los términos de uno de los miembros desaparezca del mismo y aparezca en el otro miembro:

Producto: Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por una cantidad positiva, la desigualdad no varia, pero si la cantidad es negativa, entonces cambia el sentido de la desigualdad:

, al multiplicar por una cantidad negati¬va cambia el sentido de la desigualdad.

, si la cantidad es positiva se conserva el sentido original de la desigualdad.

Simplificación: si se dividen los dos miembros de una desigualdad por una cantidad no negativa y distinta de cero, la desigualdad no varía:

, si el divisor es negativo entonces cambia el sentido de la desigualdad.

Inecuaciones: son desigualdades en las que se encuentra presente en uno cual¬quiera de los miembros, o en ambos, una o más variables, o incógnitas.

Una inecuación se verifica solo para algunos valores de las va¬riables.

Los valores numéricos para los cuales se verifica la desigualdad son las soluciones de la misma.

Resolver una inecuación consiste en hallar los valores numéricos para los cuales la desigualdad es verdadera.

Inecuaciones equivalentes, son aquellas que tienen las mismas solucio¬nes.

Para hallar inecuaciones equivalentes debemos aplicar los principios de equivalencia:

• Si sumamos o restamos a los miembros de una inecuación una misma cantidad o expresión algebraica, la inecuación que resulta es equivalente a la dada.

• Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecua¬ción por una misma cantidad positiva y no nula, la inecuación que resul¬ta es equivalente a la dada.

• Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecua¬ción por una misma cantidad negativa, la inecuación que resul¬ta es de sentido contrario a la dada.

Ejemplos:

, es una inecuación equivalente a la primera.

, operando nos queda, , que es equivalente a la dada, y por último , y de ahí pasaríamos a otras inecuaciones equivalentes hasta llegar a la solución, en este caso , que es la solu¬ción, es decir, todos los valores de la variable meno¬res que catorce tercios.

Inecuaciones de primer grado: son aquellas en las que las variables que intervienen están elevadas a un exponente igual a la unidad.

Inecuaciones de primer grado con una incógnita, tienen por ex¬presión general , y todas sus equivalentes.

.

Ejemplos:

E1.- , es decir, se cumple para todo valor de la variable x menor o igual que noventa y nueve cientonueveavos.

E2.- , es decir, se cumple para todo valor de la variable estrictamente mayor que quince die¬cisieteavos.

Luego para resolver una inecuación se sigue un proceso similar al de resol¬ver ecuaciones.

Método analítico:

Para resolver una inecuación de primer grado, lo primero que hay que hacer es llegar a obtener la expresión general de una inecuación de 1er grado del apartado anterior aplicando los principios de equivalen¬cia y los fundamentos del cálculo en general:

Quitar paréntesis si los hubiera. Para ello aplicar la propiedad dis¬tri¬butiva del producto respecto a la suma.

Quitar denominadores si los hubiera. Para ello reducir ambos miembros a co¬mún denominador.

Reducir términos semejantes en ambos miembros.

Pasar a un miembro los términos que contengan la variable y al otro los que no la contengan, y volver a reducir términos. (Aplicar los princi¬pios de equivalencia de inecuaciones)

Despejar la variable. (Volver a aplicar los principios de equiva¬lencia de modo que la variable quede aislada en el 1er miembro y con coeficiente la unidad, 1)

IMPORTANTE: si al aplicar los principios de equivalencia debemos di¬vidir o multiplicar por una cantidad negativa tener presente que cambia el sentido de la desigualdad, así:

ya que hemos tenido que multiplicar por –1 ambos miembros por ser éstos negativos, luego proseguiríamos de modo normal.

Ejemplos:

E1.- , la solución son todos los valores de la variable menores estrictamente que 3.

E2.- , como nos queda la variable negativa debemos multiplicar ambos miembros por –1, así , la solución son todos los valores de la variable estrictamente menores que catorce tercios.

Modo de dar las soluciones:

Por intervalos, como en los ejemplos anteriores.

Gráficamente, por su representación en la recta real.

En los casos anteriores sería:

E1.-

E2.-

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incóg¬nita: son aquellos en los que la única variable que interviene en todas las ecua¬ciones está elevada a un ex¬ponente igual a la unidad.

Sistemas de dos ecuaciones, tienen por expresión general:

, y todas sus equivalentes , , etc. ...

Técnicas de resolución: no existe más que un modo de resolverlos, inde-pendientemente del número de inecuaciones que compongan el sistema, se resuelve cada inecuación por separado, y al final se busca la solución en la intersección de todas ellas, es decir, el intervalo de solución común a todas.

Ejemplos:

E1.- , los intervalos de solución son para la primera y para la segunda. Luego la solu¬ción común a ambas está en la intersección de ambos, es decir, en , gráficamente tal vez se vea mejor.

E2.- Sea x el largo de un rectángulo de 3 cm. de ancho, el lado de un triángulo equilátero y el lado de un cuadrado. Determinar su valor para que el perímetro de rectángulo sea superior al del trián¬gulo e inferior al del cuadrado.

El planteamiento nos lleva a . Esta es una inecuación de primer grado que no

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