Inecuaciones Lineales

Titulo: INECUACIONES LINEALES

Año escolar: 3er año de bachillerato

Autor: José Luis Albornoz Salazar

Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario

País de residencia: Venezuela

Correo electrónico: martilloatomico@gmail.com

El autor de este trabajo solicita su valiosa colaboración en el sentido de enviar cualquier sugerencia y/o recomendación a la siguiente dirección :

martilloatomico@gmail.com

Igualmente puede enviar cualquier ejercicio o problema que considere pueda ser incluido en el mismo.

Si en sus horas de estudio o práctica se encuentra con un problema que no pueda resolver, envíelo a la anterior dirección y se le enviará resuelto a la suya.

INECUACIONES LINEALES

REGLAS :

Si a < b, entonces a+c < b+c (también se cumple para ≤, > y ≥).

Ejemplo : Si 3 < 5 y sumamos 2, obtenemos 5 < 7.

Si a < b y c < d, entonces a+c < b+d (también se cumple para ≤, > y ≥).

Ejemplo : Si 3 < 5 y 4 < 6, entonces sumando las desigualdades, obtenemos 7 < 11.

Si a < b y c > 0, entonces ac < bd (también se cumple para ≤, > y ≥).

Ejemplo : Si 3 < 5 y multiplicamos por 2 obtenemos 6 < 10.

Si a < b y c < 0, entonces ac > bd (también se cumple para ≤, > y ≥). Cuando se multiplica por un valor negativo se cambian los signos de los términos y el sentido de la desigualdad.

Ejemplo : Si 3 < 5 al multiplicar por –2 obtenemos –6 > –10.

EJERCICIO 1 : Resolver X + 2 ≥ 7

De la misma forma que hemos trabajado con las ecuaciones lineales podemos hacerlo con las inecuaciones, es decir se recomienda ordenarla de manera tal que las variables queden ubicadas en el primer miembro (lado izquierdo del signo de desigualdad) y los números en el segundo miembro (lado derecho del signo de desigualdad).

Igual que en las ecuaciones, al “pasar” un término de un miembro al otro se debe cambiar el signo de dicho término.

En este ejercicio mantenemos a “X” al lado izquierdo del signo de la desigualdad y pasamos a “+2” al lado derecho pero cambiándole el signo.

X + 2 ≥ 7

Así, la inecuación quedará expresada como:

X ≥ 7 – 2 ; X ≥ 5

Lo que significa que “X” puede tomar valores iguales o mayores a 5; esta solución puede ser mostrada de tres formas :

En forma gráfica:

/////////////////////////////////////////////////

– ∞

5 + ∞

Nota: Se coloca en el número 5 indicando que él forma parte de la solución.

En forma de intervalo:

X = [ 5 , + ∞ )

Intervalo cerrado en 5 (incluido el 5) hasta infinito positivo (tanto el infinito positivo como el infinito negativo se indican como intervalo abierto “paréntesis”).

En forma de conjunto:

X = { X Є R ⁄ X ≥ 5 }

X pertenece a los números reales tal que X sea mayor o igual a 5

EJERCICIO 2 : Resolver 3 ≤ X – 2

De la misma forma que hemos trabajado con las ecuaciones lineales podemos hacerlo con las inecuaciones, es decir se recomienda ordenarla de manera tal que las variables queden ubicadas en el primer miembro (lado izquierdo del signo de desigualdad) y los números en el segundo miembro (lado derecho del signo de desigualdad).

Igual que en las ecuaciones, al “pasar” un término de un miembro al otro se debe cambiar el signo de dicho término.

3 ≤ X – 2

– X ≤ – 2 – 3 ; – X ≤ – 5

En aquellos casos (como este) en que la variable presente signo negativo se debe multiplicar toda la inecuación por “menos uno”, teniendo en cuenta que se deben cambiar los signos de todos los términos y también se debe cambiar el sentido de la desigualdad.

(– X ≤ – 5).( – 1)

X ≥ 5

Lo que significa que “X” puede tomar valores iguales o mayores a 5; esta solución es la misma que la del ejercicio 1.

EJERCICIO 3 : Resolver 3X – 4 < X + 2

Ordenar de manera tal que las variables queden ubicadas en el primer miembro (lado izquierdo de la desigualdad) y los números en el segundo miembro (lado derecho de la desigualdad).

Al “pasar” un término de un miembro al otro se debe cambiar el signo de dicho término.

3X – X < 2 + 4 ; 2X < 6

El “2” que está multiplicando a la “X” en el miembro izquierdo de la inecuación pasará al miembro derecho dividiendo al “6” (Esto solo se puede hacer si el coeficiente que acompaña a la variable es positivo).

Si la variable hubiese estado acompañada por un número negativo, primero se multiplica toda la inecuación por “menos uno” (ver ejercicio 2) y después se hace el despeje.

2X < 6 ; X < 6/2 ; X < 3

Lo que significa que “X” puede tomar valores menores a 3 (no incluye al 3); esta solución puede ser mostrada de tres formas :

En forma gráfica:

///////////////////////////////////////////////////////////////////

– ∞

3

+ ∞

Nota: Se coloca en el número 3 indicando que él NO forma parte de la solución.

En forma de intervalo:

X = (– ∞ , 3 )

Intervalo abierto desde menos infinito hasta intervalo abierto en 3 (no incluye al 3).

En forma de conjunto:

X = { X Є R ⁄ X < 3 }

X pertenece a los números reales tal que X sea menor a 3

EJERCICIO 4 : Resolver 2X – 1 ≥ – 3X + 3

Ordenando las variables al lado izquierdo y los números al lado derecho:

2X + 3X ≥ 3 + 1 ; 5X ≥ 4 ; X ≥ 4/5

Lo que significa que “X” puede tomar valores iguales o mayores a 4/5 Esta solución puede ser mostrada de tres formas

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