Desigualdades E Inecuaciones

Desigualdades e inecuaciones

FACILITADOR: MSN. ANA CAMPO

PARTICIPANTES:

ISAAC GOMEZ C.I. V- 19.743.882

CURSO: PRECALCULO

SECCIÓN: SEACE

Las primeras actividades matemáticas de las civilizaciones primitivas se relacionaron con la necesidad de contar los rebaños o medir el tiempo. Los hombres primitivos hacían marcas en los arboles para llevar la cuenta de sus posesiones. Los conceptos de igualdad y de desigualdad surgieron mucho después. Así, los signos actualmente utilizados para indicar las desigualdades no fueron establecidos hasta el siglo XVII por los matemáticos Bouguer y Harriot.

Intervalo de recta real.

La desigualdad 7<15 expresa que 7 es menor que 15. Podíamos haber escrito igualmente 15>7 15 es mayor que 7. Los signos <y> se leen “meno que” y “mayor que”, respectivamente.

La desigualdad x>2indica el conjunto de todos los números mayores que 2. En la recta real, dicho conjunto está formado por un intervalo infinito con origen en 2 (el 2 no esta incluido).

El intervalo anterior se expresa por (2,∞)

La desigualdad x<1, representada en la recta real orientada, indica el conjunto de todos los números menores que 1:

El intervalo correspondiente se expresa por (-∞,1)

En los dos intervalos anteriores no están indicados los extremos. Si se requieren incluir los extremos se expresa así:

x≥2, indica el conjunto de todos los números mayores o iguales que 2

x≤1, indica el conjunto de todos los números menores o iguales que 1

También pueden ser expresados, respectivamente, mediante los intervalos infinitos [2,├ ∞) ┤ y (-∞├ ,1] ┤. Cuando está incluido, el intervalo se expresa con corchete en vez de hacerlo con paréntesis. La representación grafica de los dos intervalos anteriores es:

La doble desigualdad a<x<b indica el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b; y pueden expresarse en forma de intervalo abierto (a,b). Su representación grafica en la recta real orientada es:

Si los dos extremos están indicados en el intervalo, este es expresado de la forma: a≤x≤b e indica el conjunto de todos los números mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

También puede ser expresado en forma de intervalo cerrado:[a,b]. Su representación grafica en la recta real es:

Ejemplo

Representa en la reta real el intervalo (-2,4)

Solución:

Ejemplo

Representa en la recta real el intervalo -3≤x<1

Solución:

Propiedades de las desigualdades.

Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o se les resta la misma expresión, se obtiene una nueva desigualdad del mismo sentido.

Ejemplo

Si 7>4→{█(sumado 6:7+6>4+6→13>10@restando 5:7-5<4-5→2>-1)┤

En general, este principio se expresa así: Si a>b→a±c>b±c

Este principio permite pasar un término de un miembro de una desigualdad al otro miembro, cambiando el signo del término.

Si se suman miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, se obtiene una nueva desigualdad del mismo sentido que las primeras.

Ejemplo

3<5

(-6<-4)/(3+(-6)<5+(-4) )→-3<1

Cuando se restan miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, no puede predecirse el sentido de la desigualdad resultante.

Ejemplo 2<4 2<5

(1<2)/(2-1<4-1)→1<2 (-3<4)/(2-(-3)>5-4)→5>1

Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un número positivo, resulta una nueva desigualdad del mis sentido.

Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un número negativo, resulta una desigualdad de sentido contrario.

Ejemplo

Si 6>4→{█(multiplicando por 3: 6∙3>4∙3→18>12@dividiendo por 2: 6:2>4:2→3>2)┤

Si 6>4→{█(multiplicando por-3:6∙(-3)<4∙(-3)→-18<-12@dividiendo por-2: 6:(-2)<4:(-2)→-3<-2)┤

Consecuencias de la anterior propiedad son las siguientes:

Al cambiar de signo los dos miembros de una desigualdad, esta cambia de sentido, porque se multiplican ambos miembros por -1

Ejemplo

Si 4<7 (multiplicado por-1)¦→-4>-7

Al eliminar los denominadores de una desigualdad, multiplicado por los términos por el denominador común, hay que tener en cuenta el signo de este.

Ejemplo

1/4<2/3 ( ∙12)¦( →) 12∙ 1/4<12∙2/3→3<8

Si dos numero tienen el mismo signo, la desigualdad entre sus inversos es la contraria a la que se verifica entre dichos números.

Simbólicamente:

a<b→1/a>1/b

Ejemplo

3<5→ 1/3>1/5

-7<-3→- 1/7>-1/3

Si se elevan los dos miembros de una desigualdad a una potencia de exponente natural impar, resulta una desigualdad del mismo sentido.

Ejemplo

-5<-2→(-5)^3<(-2)^3→-125<-8

Si se elevan los dos miembros de una desigualdad a una potencia de exponente natural par:

El sentido de la desigualdad no cambia si los dos miembros son positivos

Se invierte el sentido de la desigualdad si ambos miembros son negativos

No se puede predecir el sentido de la desigualdad si los dos miembros son de distinto signo.

Ejemplo

3<6→3^2<6^2→9<36

-5<-3→(-5)^2>(-3)^2→25>9

{█(-6<4→(-6)^2>4^2→36>16@-2<3→(-2)^2<3^2→4<9)┤

Inecuaciones de primer grado

Se llama inecuaciones a cualquier desigualdad en la que aparece una determinada.

Ejemplo

〖2x〗^2-x+3<x+6 es una inecuación

Llamamos solución de una inecuación a todo número real que, sustituido en la variable, satisface la desigualdad.

Ejemplo

x=1

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