Inferencia Estadística Distribución muestral de medias y proporciones

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EJERCICIOS A REALIZAR.

1. La vida media de un uniforme de un elemento de seguridad pública es de siete años, con una desviación estándar de un año. Suponga que las vidas de estos uniformes siguen aproximadamente una distribución normal y encuentre:
a. La probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de nueve de estos uniformes caiga entre 6.4 y 7.2 años.
Se cuenta con los siguientes datos:

Tamaño de la muestra: n=9
Media poblacional: µ = 7
Variable aleatoria: X la vida media de un uniforme promedio en años.
Desviación estándar: σ = 1
Se utiliza la distribución de la media
Z= (x- µ) / (σ / [pic 4] ˄ ½)

RESPUESTA:
P (6.4 ˂ x ˂7.2) = P (6.4 -7) / (1 / (9) ˄ ½) ˂ (x - µ) / (σ / [pic 5] ˄½) ˂ (7.2-7) / (1 / (9) ˄½)
P (-1.8 ˂ Z ˂ 0.6) = P (Z ˂ 0.6) – P (Z ˂ - 1.8) + P (Z ˂ 0.6) – (1 – P (Z ˂ 1.8)) =

Se aplica la tabla de distribución normal acumulada =
0.7257 – 0.0359 = 0.6898
convirtiendo a probabilidad o porcentaje de que la vida media de una muestra de 9 de los uniformes caiga entre 6.4 años y 7.2 años seria del: = 68.98 %.

b. El valor de X a la derecha del cual caería el 15% de las medias calculadas de muestras aleatorias de tamaño nueve.

RESPUESTA: Un valor de X que deje a su derecha un área del 15% y por lo tanto un área del 85% a su izquierda, en seguida se presenta la solución.
µx = 7 años y α = 1 – 0.15 = 0.85
Zα = (x - µ) / (σ / [pic 6] ˄ ½)
Z 0.85 = (x – 7) / (1 / (9) ˄ ½)
En tabla la probabilidad de 0.85 = 1.04
Despejando X nos resulta
1.04 0 (X – 7) / (1/3)
X = 7.34666 años
X = 7.35 años
El valor de X que deja a su derecha un área del 15% es de: = 7.35 años.

2. De acuerdo con un reporte de un periódico prestigioso en el país, aproximadamente 2/3 de los 1600 adultos encuestados vía telefónica dijeron que piensan que el programa “Conduce sin alcohol” es una buena medida de seguridad para el país.
P ˄ ~ N (Pʺ pq/n ) P ˄ = proporción muestra Pʺ= Proporción relacional
En donde q = 1 – P
P ˄ = 2/3 n= 1600 q = 1 – p = 1/3 = 0.333
P (p˄ = ≥ 0.01) p˄ n N (0.66 (0.66*0.333)/1600 = N (0.66, 0468)
p˄ ~ N (0.66, 0468)

a- ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción poblacional no difiera en más de 0.01 de la proporción poblacional?
P (p˄ ≥ 0.01) Z ∼ N (0.1)
Z = (p˄M)/σ Z = (0.01-0.66)/0.468 = 1.3 % de probabilidad.

b. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la proporción de adultos mexicanos que piensan que el programa “Conduce sin alcohol” es una buena medida de seguridad para el país.
Z α/2 P (z ≤ Z ₀․₉₇₅) = 0.975
95% = 0.95 – 1 = α = 0.05
(α )/2 = 0.025
P (z ≤ Z 0.025) = 0.975
En este caso aplicando de distribución normal acumulada 0.06 – 1.9
Z ∝/2 = Z 0.052 = 1.96 de intervalo de confianza.


FUENTES DE CONSULTA:

Educarex departamento de Matemáticas y Estadista. (02 de marzo 2021). El problema de la estimación de la proporción de la población. 04 de mayo 2022, de Iescaestelar Sitio web: https://iescastelar.educarex.es/web/departamentos/matematicas/matematicasccss2ba/matematicas2ccss/testimaciondelaproporcion.htm

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