Inferencia

Tarea I - 1er Semestre 2011

El objetivo de esta tarea es que puedan comprender las propiedades que hemos visto en clase mediante la experimentación numérica propia. En particular, se quiere que el alumno pueda mostrar en forma numérica las principales propiedades de los estimadores, además del teorema central del límite y sus respectivas aplicaciones.

Para resolver esta tarea tendrá que utilizar algún programa para poder hacer los cálculos numéricos. Se recomienda utilizar R-Project, aunque este aspecto queda a criterio del alumno. La tare podrá ser realizada en forma conjunta entre dos alumnos, pero nunca más de dos alumnos. La fecha de entrega de la tarea será el viernes 29 de Abril de 2011. La tarea debera ser enviada por correo electrónico a la dirección del profesor Alejandro Rodríguez.  

Pto. 1: Tomando muestras de tamaño n = 5 mostrar numéricamente que

a) la varianza muestral.

S^2=1/(n-1) ∑_(i=1)^n▒〖(X_i-X ̅)〗^2

, con

X ̅=1/n ∑_(i=1)^n▒X_i

Es un estimador insesgado de σ^2=100

Para demostrar numéricamente que S^2 es insesgado, tomamos nuestra población entregada en el documento txt, extraemos de esa población, muestras aleatorias de tamaño n=5 (en este caso 1000 muestras) y para cada una calculamos S^2 obteniendo así una nueva variable aleatoria con 1000 datos, luego para calcular el sesgo de nuestro estimador tenemos lo siguiente.

Sesgo S^2=E(S^2 )-σ^2 , donde σ^2=100

Dado los cálculos obtenidos en R, tenemos que E(S^2 )=101.4932

así,

Sesgo S^2=101.4932-100=1.4932≈0

Concluyendo, dado que el sesgo de S^2 se aproxima o acerca bastante a 0, podemos decir que S^2 es un estimador insesgado de σ^2=100

b) la varianza muestral y c) el sesgo asociado a la estimación de σ^2 mediante σ ̂^2 es diferente de cero.

σ ̂^2=1/n ∑_(i=1)^n▒(X_i-X ̅ )^2

Es un estimador sesgado de σ^2=100

De la misma manera que en el ejercicio anterior para demostrar numéricamente que σ ̂^2 es sesgado, tomamos nuestra población entregada en el documento txt, extraemos de esa población, muestras aleatorias de tamaño n=5 y para cada una calculamos σ ̂^2 obteniendo así una nueva variable aleatoria con 1000 datos, luego para calcular el sesgo de nuestro estimador tenemos lo siguiente.

Sesgo σ ̂^2=E(σ ̂^2 )-σ^2 , donde σ^2=100

Dado los cálculos obtenidos en R, tenemos que E(σ ̂^2 )=81.19457

así,

Sesgo σ ̂^2=81.19457-100=-18.80543≠0

Concluyendo, dado que el sesgo de σ ̂^2 es distinto de 0, podemos decir que σ ̂^2 es un estimador sesgado de σ^2=100.

Pto. 2: Tomando muestras de tamaño n=[5,15,35,500,5000] mostrar numéricamente que

a) el sesgo del estimador σ ̂^2 tiende a cero, además que σ ̂^2 y S^2 se parecen cada vez más.

Para verificar que el sesgo de σ ̂^2 tiende a 0, tomamos primero muestras de tamaño 5 y calculamos el sesgo (ejercicio anterior), luego haremos el mismo proceso pero con una muestra mayor (tamaño n=15) así, compararemos el sesgo y nos daremos cuenta que disminuye, de misma forma con los demás tamaños de muestra sucesivamente. Pronto haciendo los cálculos respectivos, obtendremos la siguiente tabla.

Tamaño n Estimación S^2 Estimación σ ̂^2 Sesgo de σ ̂^2 Diferencia

5 103.60418 82.88334 -17.11666 20.72084

15 99.917374 93.256215 -6.743785 6.661158

35 100.803167 97.923076 -2.076924 2.880090

500 100.5370592 100.3359851 0.3359851 0.2010741

5000 100.0470077 100.0269983 0.0269983 0.0200094

Con esta simulación que demostrado que el sesgo de σ ̂^2 se hace cada vez más pequeño, tendiendo a 0 a medida que la muestra aumenta se puede apreciar que para la muestra de tamaño 5000 el sesgo es prácticamente 0. Por otro lado como se muestra en la última columna de la tabla, la diferencia entre las estimaciones es cada vez, más pequeña.

b) S converge a σ (¿Qué propiedad se está usando?)

Para demostrar que S converge a σ=10 debemos calcular S para cada tamaño de muestra y compararlos, así también construir un grafico que contenga todas las densidades de S para distintos tamaños n de muestra.

Tamaño de la muestra n S Diferencia entre S y σ Varianza de S

5 8.656489 1.343511401 26.78819834

15 9.451328 0.548672155 9.60035819

35 9.729785 0.270215190 4.68627959

500

9.979388 0.020612136 0.36910122

5000 9.992571 0.007429277 0.03945484

Se aprecia claramente que al aumentar el tamaño de muestra n, S tiende

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