Informe de práctica 7 El péndulo de Wilberforce

Péndulo de Wilberforce

Vannesa Ramirez Espitia – Cod. 202010137

Abstract

The Wilberforce pendulum is very interesting since it not only includes the translational movement, which is the one that is commonly worked on, but also the rotational movement, which, logically, affects the movement that was known from the simple mass-spring system, due to From this it can be seen that the spring does not only elongate longitudinally.

Resumen

El péndulo de Wilberforce es muy interesante ya que no solo incluye el movimiento traslacional, que es el que comúnmente se trabaja, sino que también incluye el movimiento rotacional, que, lógicamente, afecta al movimiento que se conocía de sistema masa-resorte simple, debido a esto se observa que el resorte no solo se elonga de manera longitudinal.

Marco Teórico

El péndulo de Wilberforce consta de un muelle helicoidal de constante elástica longitudinal k y masa , de cuyo extremo cuelga una pesa que, además de desplazarse verticalmente (grado de libertad z), puede girar en torno al eje del muelle (grado de libertad θ) con una constante elástica de torsión δ. La pesa está constituida por un cuerpo cilíndrico de masa  atravesado por una varilla de masa , sobre la que se pueden enroscar dos deslizadores de masa , la pesa consta, además, de una rueda (atornillada al cuerpo cilíndrico) de masa .[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

[2] Sea k la constante elástica del muelle en las oscilaciones longitudinales y δ la constante en las oscilaciones torsionales. Sea z el desplazamiento vertical del muelle de la posición de equilibrio y θ el ángulo de rotación alrededor del eje vertical.

El acoplamiento entre los dos modos de oscilación está descrito por una función lineal de la forma , donde ε se denomina constante de acoplamiento.[pic 6]

Las ecuaciones del movimiento de Lagrange nos llevan al sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden. La lagrangiana L=T-V con los símbolos  se escribe:[pic 7]

[pic 8]

Obteniendo las ecuaciones del movimiento:

[pic 9]

En ausencia del término de acoplamiento ε=0 las ecuaciones diferenciales describen dos Movimientos Armónicos Simples de frecuencias angulares:

[pic 10]

Teniendo en cuenta que el péndulo está compuesto por bastantes masas, casa una va a afectar el sistema, como, por ejemplo, la masa del muelle, que normalmente se toma como despreciable no hay duda que en este caso si va a influir, de modo que la masa total va a ser la suma de todas las masas por separado.

[pic 11]

De forma similar ocurre con los momentos de inercia, cada cuerpo dependiendo de su geometría tiene un momento de inercia asociado que va a ser diferente a los demás, por esa razón el momento de inercia total va a ser la suma de todos los momentos individuales.

[pic 12]

Resultados y Análisis

Para el péndulo de Wilberforce se tomaron los valores experimentales de su periodo por separado, uno solo de la parte longitudinal y el otro de la parte rotacional, ya que ambas frecuencias naturales son necesarias para el procedimiento.

Para la parte longitudinal, en la que solo depende del estiramiento del resorte se definió su frecuencia como , donde, al utilizar la forma de la ecuación del periodo se tiene , así obteniendo finalmente que , pero esta m, para este caso, es la suma de la f por la masa del resorte (al hacer oscilar la pesa suspendida se considerar una fracción f de su masa ) con la masa de las pesas que se le están colocando, de modo que, al reescribir la ecuación se obtiene que , obteniendo una ecuación de lineal.[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

Teniendo esto en cuenta, se toman los valores del periodo al cuadrado para cada una de las masas aplicadas (las pesas adicionales), de forma que al graficar los datos y realizar un ajuste de tipo lineal se obtiene la ecuación , donde , así, al despejar y operar se obtiene que la constante k es igual a 3.374 N/m y la f es 2.563, que de por sí está un poco (bastante) alejada de su valor teórico.[pic 18][pic 19]

Se realiza algo similar para hallar la constante de torsión de la parte rotacional y el momento de inercia, ya la ecuación del periodo para este es de , pero este momento de inercia es el total, el cual no se tiene, de modo que se escribe como la suma entre el momento de inercia de los 4 deslizadores usados en la práctica y con , que representa la suma de todos los otros momentos, así la ecuación del periodo quedaría como , así, con los valores que se recolectaron el la práctica, se grafica el periodo al cuadrado en función de la distancia entre el deslizador al centro del cilindro al cuadrado. De esta forma la ecuación que se obtuvo al realizar un ajuste lineal fue de , donde así despejando y operando se obtiene que δ equivale a 0.00641 N/m y  es .[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

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