Integracion

Si F(x) es una anti derivada o primitiva de ƒ(x), esto es si F(x)= ƒ(x) se puede escribir esta igualdad como:

dF(x)= ƒ(x)dx

A la operación de anti derivada de una función se le denota por el símbolo

A la representación de integral definida de ƒ(x) donde C es una constante arbitraria. A ƒ(x) se le llama integrando y x es la variable de integración.

ƒ(x)dx= F(x)+C

A partir de esta fórmula se obtiene el método de integrales inmediatas

1.- x-6dx=(x^-5)/(-5)+C

2.-

Integración por partes

En muchas ocasiones no es posible resolver una integral por medio de las formulas inmediatas.

Este método es muy aplicable en la integracion de un producto, este consiste en separar la integral en dos parte una se iguala a u y la otra a dv

Deducción

d(uv)=udv +vdu

Despejando a udv

Udv=d(uv)-vdu

Integrando

Udv= d(uv)- vdu

udv=uv- vdu

Ejemplo

Integración por cambio de variable trigonométrica

Cuando tengamos una raíz en la integral ya sea en el numerador o en el denominador, podemos resolverla por medio de cambio de variable.

√(a^2-b^2 u^2 ) u=a/bsenz

√(a^2+b^2 u^2 ) u=a/btanz

√(b^2 u^2-a^2 ) u=a/bsecz

Integración de fracciones parciales

Caso I (Factores Lineales)

En este caso tenemos que los factores del denominador son todos factores lineales distintos.

Q(x) = (a1x + b1)(a2x + b2)(a3x + b3)...(anx + bn) a y b son constantes, proponer:

(1)

Ejemplo

Sea .

Primero factorizamos el denominador nos quedaría

Tenemos entonces dos factores lineales no repetidos usamos el caso I para escribir

Caso II (Factores Lineales Repetidos)

Suponga que el primer factor lineal (a1x + b1) se repite r veces; es decir, (a1x + b1)r aparece en la factorización de Q(x). Por lo tanto en lugar del término simple en (1), se usaría

(2)

Ejemplo caso II

Si tenemos

en el denominador Q(x) = (x + 1)3(x − 1)(x − 2) podemos ver que tenemos que tenemos los factores lineales (x − 3)3, x − 1 y x − 2

Para (x − 1) y (x − 2) usamos el caso I entonces escribimos

Para (x + 1)3 usamos el caso II entonces escribimos

Ahora juntamos las fracciones anteriores y obtenemos,

Caso III (Factores Cuadráticos Irreducibles)

Si Q(x) tiene un factor de la forma ax2 + bx + c, donde b2 − 4ac < 0 (esto nos dice que no se puede expresar ax2 + bx + c como la multimplicacion de dos fatores lineales pues la solución de la cuadratica es compleja) además de las fracciones parciales de (1) y (2) entonces la expresión para tendrá un término de la forma

Ejemplo Caso III

Sea podemos notar que x2 + 1 es una cuadrática irreducible ya que su solución es compleja entonces para este factor escribimos una suma de la forma y para el factor (x + 1)2 escribimos las fracciones

Sumamos estas fracciones y tenemos la expresion en fraciones parciales para f(x)

Caso IV (Factor Cuadrático Irreducible repetido)

Si Q(x) tiene un factor de la forma (ax2 + bx + c)r, donde b2 − 4ac < 0, luego en lugar de la única fracción parcial , escribimos la suma

Ejemplo Caso IV

Sea

...