Integración numérica

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Siendo el problema de calcular una primitiva algo complejo, nos será de utilidad conocer un algunas ideas relacionadas con la integración numérica. En este apunte veremos la Regla del trapecio y la Regla de Simpson, suponiendo que f es continua y que tiene todas las derivadas que sean necesarias.

• Regla del trapecio

Intentemos aproximar por una expresión del tipo

Si tomamos y se obtiene que

Resolviendo el sistema podemos ver que

De donde

(note que es la fórmula para el cálculo del área de un trapecio).

Gráficamente, estamos calculando el área del trapecio definido por los puntos

. Es claro que si la longitud del intervalo es “grande” no se puede esperar que la aproximación sea buena.

Para evitar este problema subdiviremos el intervalo en n intervalos iguales. En cada uno de ellos

Sumando,

Ejemplo:

Veamos que tomando un número mayor de puntos obtenemos una mejor aproximación.

• Análisis del error

Definimos

Derivando obtenemos

Note que

Usando el Teorema del valor medio de Cauchy podemos ver que

De donde

Acotando,

Si bien usaremos esta cota por simplicidad puede obtenerse una mejor ya que y puede volver a usarse el Teorema del valor medio de Cauchy (ejercicio).

Si subdividimos el intervalo el error será menor o igual a la suma de los errores en cada intervalo . Es decir,

Llamemos en el intervalo .

Entonces,

Note que si está acotada, entonces el error tiende a cero cuando tomo un mayor número de puntos.

• Regla de Simpson

Tomemos ahora tres puntos en cada intervalo, obtenemos para una expresión del tipo

Para simplificar los cálculos tomemos . Entonces,

Resolviendo se tiene que

De donde,

O bien,

Ejemplo:

Tomemos nuevamente

Note que el resultado es exacto. El análisis del error correspondiente (que vamos a omitir) nos muestra que el error depende de la cuarta derivada en un punto medio, de donde, la Regla de Simpson es exacta para cualquier polinomio de grado 3.

Para finalizar veamos como queda la fórmula si tomamos 2n+1 puntos,

...