Diferenciacion E Integracion Numerica

Unidad 4 Diferenciación e integración numérica

Introducción: En esta investigación veremos algunos de los diferentes métodos que existen para resolver diferenciales e integrales, descubriremos que una vez que se aprenden bien son muy sencillos y pueden ser mucho más fácil de realizar para obtener la solución deseada.

18 de Octubre de 2014

Tema 4.1 Diferenciación Numérica

En los cursos de cálculo se define la derivada de ƒ en x0 como.

Una manera razonable de aproximar la derivada es

(1).

Para el caso de una función lineal, ƒ(x) = ax + b, la aproximación dada por la expresión (1) resulta exacta para cualquier valor de h distinto de cero. Pero para cualquier función ƒ en general no siempre resulta exacta.

A continuación se hace una estimación del error asociado a la aproximación dada por (1) usando el teorema de Taylor con un polinomio de grado 1.

si x = x0 + h, x - x0 = h, y reemplazando en (2) resulta:

si se despeja ƒ’(x0) entonces:

(3).

Observe que la ecuación (3) es más útil que la ecuación (1), ya que tiene un término que cuantifica el error y este se conoce como término de error.

Ejemplo. Si se utiliza la fórmula (1) para calcular la derivada de

ƒ(x) = sen(x) en y con h = 0.01. ¿Cuál es la respuesta y cuál es su grado de precisión o error?

Solución:

Se puede obtener una cota más precisa usando el hecho que x0 < z < x0 + h

de modo que |sen z| < 0.714142376 y la cota sería

Observe que si ƒ(x) = sen x , ƒ ´(x) = cos x y

El error real es: 0.707106781 – 0.703559491 = 0.003547290186.

Se puede obtener otra fórmula para aproximar la derivada usando la ecuación (2),

si x = x0 – h, x – x0 = -h, reemplazando el valor de x se tiene :

si se despeja f ´(x0) resulta:

(4)

A la aproximación (1) se le llama fórmula de diferencia hacia delante y a la aproximación dada por (4) se le conoce como fórmula de diferencia hacia atrás, ambas fórmulas presentan el mismo error. Se puede obtener otra fórmula para aproximar la derivada con un error que involucre h2 usando un polinomio de grado 2 así:

Si se reemplaza x = x0 + h y x = x0 – h en (5) resulta:

Si se restan las anteriores ecuaciones, se tiene :

Ahora se despeja f ´(x0) ,

(6) 1

La anterior fórmula para aproximar la derivada de ƒ se la conoce como diferencia centrada.

En las figuras 4.1 y 4.2 se ilustran las aproximaciones dadas por las ecuaciones (1) y (6).

Errores por truncamiento y redondeo al aproximar la derivada

Considere la ecuación de diferencias centradas (6).

La aproximación a la derivada es f(x0 + h) - f(x0 - h)/2h, y el error en la aproximación es El error se denomina error por truncamiento por que es provocado por el truncamiento de la serie de Taylor. La precisión finita de la máquina produce otro error denominado error por redondeo.

Este error aparece en el cálculo de ƒ(x + h) – ƒ(x – h) en el numerador de la aproximación ya que si al evaluar ƒ(x + h) y ƒ(x – h) se encuentra que son los errores del redondeo, entonces los valores calculados en la máquina se relacionan con los valores verdaderos por las ecuaciones:

Luego el error total en la aproximación es:

Como se puede apreciar, tiene una parte debida al error del redondeo y otra al error de truncamiento. Si se supone que los errores de redondeo e(x0 ± h) están acotados por algún número > 0 y la tercera derivada de ƒ esta acotada por M > 0, entonces:

por lo tanto

Si la cota para el error se denota con e(h), entonces:

Si se quisiera reducir el error de truncamiento se escogería un valor de h pequeño, pero al mismo tiempo un h pequeño hace que el error por redondeo sea grande.

En la práctica muy pocas veces se elige un h muy pequeño. Si se analiza la expresión e(h), se puede usar el cálculo para verificar que hay un mínimo en

(Ver ejercicio 5 de este capítulo).

Como los valores de ƒ se dan normalmente con t cifras decimales se puede suponer que el error de redondeo está acotado por = 0.5 x 10-t.

En la práctica no es posible calcular un valor óptimo h ya que sólo se conocen algunos valores de ƒ y no se conoce la tercera derivada. Lo que se debe tener presente es que con la reducción de h no siempre se mejora la aproximación.

Tema 4.2 Integración Numérica

El objetivo de esta sección es aproximar la integral definida de una función ƒ(x) en un intervalo [a, b] es decir

Los métodos de integración numérica se usan cuando ƒ(x) es difícil o imposible de integrar analíticamente, o cuando ƒ(x) esta dada como un conjunto de valores tabulados.

La estrategia acostumbrada para desarrollar fórmulas para la integración numérica consiste en hacer pasar un polinomio por puntos definidos de la función y luego integrar la aproximación polinomial de la función.

REGLA DEL TRAPECIO

Considérese la función ƒ en el intervalo [a, b], con los puntos (a, ƒ(a)) y (b, ƒ(b)) se construye el polinomio de Lagrange de grado uno.

ƒ(x) = P1(x) + E, donde E es el error en la aproximación

ahora,

si h = b - a

La expresión que aproxima el valor de la integral se conoce como regla del trapecio, porque geométricamente se puede interpretar que se aproxima el área bajo la curva por el área bajo un polinomio de grado uno P1(x) y la figura que resulta es un trapecio. Ver figura 4.3

REGLA DE SIMPSON

Una forma evidente de mejorar la aproximación de una integral es con una mejor aproximación para el integrando ƒ(x). Esto se puede lograr con un polinomio de grado 2. Ver figura 4.4

Considérese la función ƒ(x) en el intervalo [a, b] y x0 = a, x1 = x0 + h, x2 = b, donde .

Con los puntos (x0, ƒ(x0)), (x1, ƒ(x1)) y (x2, ƒ(x2)) se construye el polinomio de Lagrange de grado 2,

ahora La integral del polinomio se resuelve por partes y resulta:

reemplazando x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h resulta:

Luego ,

Por lo tanto.

Esta expresión se conoce como regla de simpson.

El error en la aproximación es

Ejemplo.

Aproximar usando:

i) La regla del trapecio

ii) La regla de Simpson

Encuentre también una cota para el error en cada aproximación.

Solución:

i) Para la regla del trapecio. entonces

...