Diferenciación Numérica

Differentiation and Numerical Integration

Nathaly Sanguano

Electrical Engiennering

Universidad Politécnica Salesiana

Quito, Ecuador

nsanguanoy@est.ups.edu.ec

Abstract— This document presents a summary about what is the Differentiation and Numerical Integration which is a technique of numerical analysis to produce an estimate of the derivative of a mathematical function for which we will use some formulas, which will be shown below. However, a little more emphasis on the development of this formulas so that it is possible to reach a good understanding and understanding of it, so that they can get to put into practice explained.

Palabras claves — valoraciòn, funciòn, diferencia, diferencias finitas, derivada.

1.   INTRODUCCIÓN

Comenzando con lo que es la diferenciación numérica se puede decir que es una técnica de análisis numérico para producir una estimación del derivado de una función matemática en la cual se puede utilizar valores de una función además de ello se utilizan los valores y propiedades de una misma función. El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso “difícil” ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce únicamente en un número discreto de puntos. [1].

Por otro lado, la integración numérica es aquella en donde su principal función consiste en aproximar una integral de una función f(x) en un intervalo cerrado o dado. Los métodos de integración numérica se usan cuando ƒ(x) es difícil o imposible de integrar analíticamente, o cuando ƒ(x) está dada como un conjunto de valores tabulados. [2].

Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales que requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser resueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración numérica de vital importancia.

Por ello este tipo de métodos son de una gran utilidad ya que nos acortan las soluciones o mejor dicho las resoluciones ya que únicamente son métodos ya reducidos de resolución de problemas. Por ello es indispensable en aprendizaje de este tipo de métodos ya que en la vida laboral de la ingeniería se utilizará este tipo de métodos ya sea para buscar una solución a un problema o di no para alguna investigación en donde podrá facilitar las cosas en la hora de realizar la investigación. Además de ello se puede realizar un pequeño programa en este caso en MATLAB para una resolución mucho más rápida y eficiente.

1. Diferenciación  Numérica

1. ¿Que es diferenciación numérica?

Se le conoce con un nombre especial en el análisis numérico: u nombre es:  diferencia finita dividida la cual generalmente Se lo representa de la Siguiente manera:

Derivada = Aproximación de primer orden – Error de Truncamiento. [3].

[pic 1] (A)

[pic 2] (B)

Donde [pic 3][pic 4] se le conoce como la primera derivada diferencia hacia adelante y a (h) se le llama el tamaño del paso o del incremento; esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se realiza la aproximación. Se llama diferencia ¨hacia delante¨, porque usa los datos en i e i +1 para estimar la derivada. Mostrada en la (figura 1). Al término completo  [pic 5][pic 6] se le conoce como primera diferencia finita dividida. [4].

[pic 7]

Figure 1: Grafica de aproximaciones con diferencias finitas divididas de la primera derivada hacia delante

[pic 8]

Figure 2: Grafica de aproximaciones con diferencias finitas divididas de la primera derivada hacia atras

Esta diferencia dividida hacia adelante es solo una de tantas que pueden desarrollarse a partir de la serie de Taylor par la aproximación de derivas numéricas.

1. Aproximación de la primera derivada con diferencia hacia atrás:

La serie de Taylor se expande hacia atrás para calcular un valor anterior sobre la base del valor actual.

[pic 9](1)

Truncando la ecuación después de la primera derivada y reordenando los términos se obtiene:

[pic 10] (2)

Donde el error O (h), y a [pic 11][pic 12] se le conoce como primera diferencia dividida hacia atrás. [5].

1. Aproximaciones a la primer derivada con diferencias centrales:

Una tercera forma de aproximar la primera derivada es restar la ecuación 4 de la expansión en serie de Taylor hacia adelante:

[pic 13](3)

Para obtener:

[pic 14](4)

que se puede resolver para

[pic 15](5)

O

[pic 16](6)

La ecuación es una representación de las diferencias centrales (o centradas) de la primera derivada. Nótese que el error de truncamiento es del orden de en contraste con las diferencias divididas hacia adelante y hacia atrás, las cuales fueron de orden h.

Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información práctica de que la diferencia central es la representación más exacta de la derivada. [6].

1. Aproximaciones a derivadas de orden más alto usando diferencias finitas:

Junta a la primera derivada, la expansión de la serie de Taylor se puede usar para una estimación numérica de las derivadas de orden superior.

Para hacerlo, se escribe una expansión en la serie de Taylor hacia adelante para en términos de la siguiente forma:

[pic 17](7)

La ecuación 3 se puede multiplicar por 2 y restarse de la ecuación 5 para obtener:

...