La recta numérica

1.1 La recta numérica

Todos los números pueden ordenarse en una recta numérica. De esta manera, podemos determinar si un número es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en la recta numérica.

Decimos que un número es menor, cuando está ubicado a la izquierda de otro en la recta numérica, o sea, está más cerca del 0 y, decimos que es mayor, cuando se ubica a la derecha de otro y está más alejado del cero.

Si miramos la recta anterior, podemos ver que el número 2 está ubicado a la izquierda del número 3 y además, está más cerca del cero, por lo tanto, decimos que el número 2 es menor que el número 3.

De la misma manera, si miras nuevamente la recta, podrás ver que el número 5 está ubicado a la derecha del número 4 y más alejado del cero, por lo tanto cabe mencionar, que el número 5 es mayor que el número 4

1.2 Los números reales

SE CLASIFICAN EN: RACIONALES E IRRACIONALES

Un numero racional es un numero real que se puede expresar como el cociente a/b de dos números enteros a y b con b diferente de cero. Los números realesque no son racionales se llaman irracionales. Por ejemplo, la razón delperímetro de una circunferencia a su diámetro es irracional. Este número real se denota por P y se escribe P = 3.1416 para indicar que P esaproximadamente igual a 3.1416. Otro ejemplo de un numero irracional es Ö 2.Los números reales se pueden representar por expresiones decimales infinitas. Por ejemplo, realizando la división puede verse que la representación decimal del numero racional 177/55 es 3.2181818..., en donde los dígitos 1 y 8 se repiten indefinidamente. Los números reales pueden representarse siempre por expresiones decimales periódicas, es decir, en las que hay una combinación dedígitos que se repiten indefinidamente. Los números irracionales puedenrepresentarse por expresiones decimales infinitas no periódicas.

1.3 Propiedades de los números reales

Propiedad: Conmutativa

Operación: Suma y Resta

Definición: a+b = b+a

Que dice:

El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.

Ejemplo:

2+8 = 8+2 5(-3) = ( -3)5

Propiedad: Asociativa

Operación: Suma y Multiplicación

Definición: a+(b+c)=(a+b)+c------ a(bc) = (ab)c

Que dice:

Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.

Ejemplo:

7+(6+1)=(7+6)+1 -2(4x7)= (-2x4)7

Propiedad: Identidad

Operación: Suma y Multiplicación

Definición: a + 0 = a------ a x 1= a

Que dice: Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.

Ejemplo:

-11 + 0 = -11 17 x 1 = 17

Propiedad: Inversos

Operación: Suma y Multiplicación

Definición: a + ( -a) = 0------(a)1/a=1

Que dice:

La suma de opuestos es cero. El producto de recíprocos es 1.

Ejemplos:

15+ (-15) = 0 1/4(4)=1

Propiedad: Distributiva

Operación: Suma respecto a Multiplicación

Definición: a(b+c) = ab + ac

Que dice:

El factor se distribuye a cada sumando.

Ejemplos:

2(x+8) = 2(x) + 2(8)

1.3.1 Tricotomía

En matemáticas, la ley de tricotomía es una propiedad de algunos conjuntos ordenados, por la cual todos sus elementos son comparables entre sí.

Sea un conjunto X parcialmente ordenado por la relación ≤, y sea < la relación de orden estricta asociada.

En X se cumple la ley de tricotomía si para cada par de elementos x e y, se tiene una sola de las siguientes relaciones:

 x < y

 y < x

 x = y

La ley de tricotomía es equivalente a que la relación de orden ≤ sea total, esto es, que dados dos elementos x e y se tenga x ≤ y o y ≤x (o ambos). Las relaciones de orden de los números naturales, enteros, racionales y reales cumplen la ley de tricotomía (son órdenes totales). Sin embargo, la relación de inclusión ⊆ en los subconjuntos de un conjunto dado no la cumple: puede haber dos conjuntos incomparables tales que ninguno es subconjunto del otro.

1.3.2 Transitividad

Una relación binaria sobre un conjunto es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.

Esto es:

Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c.

La propiedad anterior se conoce como transitividad.

Así por ejemplo dado el conjunto N de los números naturales y la relación binaria "menor o igual que" vemos que es transitiva:

Así, puesto que:

1.3.3 Densidad

Densidad Dados a; b 2 R si a > b entonces existen un elemento x 2 R

tal que a > x y x > b:

1.3.4 axioma del supremo

En análisis real, se define axioma del supremo o axioma de completitud a uno de los axiomas que componen el cuerpo de losnúmeros reales. Su definición es la siguiente:1 2

Si es un conjunto no vacío acotado superiormente en , entonces tiene supremo en .

Esto permite definir al cuerpo de los números reales como un espacio completo, mientras que, otros cuerpos, como el cuerpo de losnúmeros racionales, no lo es.

1.4 intervalos y su representación mediante desigualdades

Una desigualdad es de una forma: 10 + 3 es mayor que 6. Se le representa por: Desigualdad: 10 + 3 > 6

Esta desigualdad se transforma en inecuación, cuando se introduce una incognita: Inecuacion: 10 + x > 6

En la recta numérica existe una relación de orden.

Cuando tenemos dos puntos de la recta numérica A y B, se pueden dar una de tres alternativas:

A es mayor que B A > B

A es igual a B A = B

A es menor que B A < B

Entonses por lo siguiente:

A > B v A=B

Destacamos que a < b es equivalente a b>a y así con otras expresiones,

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