Introduccion a las trasnformaciones lineales

Universidad Autónoma de Chihuahua  [pic 1]

Facultad de Ciencias Químicas

Álgebra Lineal - TRANSFORMACIÓN LINEAL

MCE. Angélica Holguín López

¿QUÉ ES Rn A Rm?

Aprendimos en la suma de lo infinitamente pequeño a trabajar con funciones de R 🡪 R, significa que introducen un numero de entrada y obtienes un numero de salida, por ejemplo [pic 2], el valor de entrada es DOS y el de salida es de SEIS, entro un valor y se obtuvo un valor de salida. Por esto es de   R 🡪 R.

Luego, en el bloque pasado revisamos funciones de R2 🡪 R , introducimos dos valores y obtenemos solo uno, por ejemplo [pic 3].

Entonces veamos una función donde entran dos valores y salen dos, decimos que es una función [pic 4], donde [pic 5], calcular:

a) [pic 6]                                                b) [pic 7]                

c) [pic 8]                                                        d) [pic 9]

         Dado [pic 10], donde [pic 11] calcular:

a) T(0,0,0)=                 b)T(-1, 0.5,2)= 

Dado  [pic 12], donde [pic 13] calcular:

H(0,-5,6) =                 b) H(-9,-10,0) =                 [pic 14]                c) H(2,2,20) =

Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función [pic 15] tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c se cumple:

[pic 16]

EJEMPLOS

1. Demostrar que la función [pic 17], donde [pic 18], es lineal.

Para que una transformación sea línea se deben de cumplir dos (necesariamente) propiedades, la de suma y multiplicación por un escalar.

        Para demostrarlo, tomamos dos vectores (u,v), de tal forma que [pic 19], [pic 20] y un escalar [pic 21]. Con esto, sustituimos en las propiedades:

[pic 22]                                [pic 23]

        Se hacen las operaciones en cada propiedad y lo que se busca es que en ambos lados del igual quede lo mismo y similar a la función original.

PRIMERA PROPIEDAD

[pic 24]                        [pic 25]

¿Qué observas en los resultados?

        Son iguales y tienen la forma de [pic 26], se cumple la primera propiedad.

SEGUNDA PROPIEDAD

[pic 27]                                                [pic 28]

¿Qué observas en los resultados?

        Son iguales y tienen la forma de [pic 29], se cumple la segunda propiedad.

Por lo tanto, H es lineal.

1. [pic 30](funciones que involucran matrices de dos por dos), de tal forma que  [pic 31] demostrar que es una transformación lineal.

Primera propiedad, sea [pic 32]; [pic 33]

[pic 34]                                         [pic 35]

Segunda propiedad, sea [pic 36] y el escalar α.

[pic 37]                                         [pic 38]

        Dado que cumple las dos propiedades y tienen la forma original de la función, entonces, V es lineal.

1. [pic 39](funciones que involucran matrices de dos por dos), de tal forma que   [pic 40]demostrar que es una transformación lineal.

Sea [pic 41]; [pic 42]

Primera Condición

[pic 43]                                [pic 44]

Segunda Condición

[pic 45]                                        [pic 46]

        Dado que cumple las dos propiedades y tienen la forma original de la función, entonces si es una transformación lineal.

1. Dada la transformación [pic 47], definida por [pic 48]

Propiedad uno, sea [pic 49] y [pic 50]

[pic 51]

No se continua, porque este primer resultado no es igual a la función original, debió quedarnos un UNO

EJERCICIOS

Determine si las siguientes son transformaciones lineales

[pic 52] definida por         [pic 53] 

[pic 54] definida por         [pic 55] 

[pic 56] definida por         [pic 57] 

[pic 58] tal que         [pic 59] 

[pic 60] definida por         [pic 61] 

MATRIZ CANÓNICA

EJEMPLOS

1) Sea T la siguiente transformación lineal [pic 62]. Obtener su matriz canónica.

...