Introducción a los filtros de series de tiempo

Introducción a los filtros de series de tiempo

Un filtro permite obtener una estimación del componente de tendencia que puede ser muy útil, además facilita una aproximación del componente cíclico. Los filtros más populares son el de Hodrick y Prescott (HP) y el de Baxter y King (BK), existe otro filtro de Kalman, pero su estimación requiere pensar en modelos de estado espacio, que superan lo especificado en este texto.

El filtro propuesto por Hodrick y Prescott (1980) es uno de los más populares, ellos parten de la definición de ciclo económico propuesta por Lucas (1977), es decir, lo definen como las fluctuaciones recurrentes en la actividad real respecto a una tendencia.

Las fluctuaciones son por definición desviaciones respecto a un camino suave pero variable (tendencia), el cual es posible estimar mediante un proceso computacional que ajuste una curva suave a los datos.

Sea yt una serie de tiempo para t = 1,2,...,N. Si Tt es la tendencia de esta serie, entonces la media de las fluctuaciones cíclicas está dada por ct = yt − Tt 

Hodrick y Prescott proponen que el componente tendencia de una serie es el que minimiza una ecuación del tipo siguiente:

[pic 1]

El primer término de la ecuación anterior es la suma de las desviaciones de la serie respecto a la tendencia al cuadrado, y es una medida del grado de ajuste. El segundo término es la suma de cuadrados de las segundas diferencias de los componentes de tendencia y es una medida del grado de suavidad. Este modelo permite que el componente de tendencia de yt cambie suavemente a lo largo del tiempo.

Es importante mencionar que la serie yt se emplea generalmente en logaritmos para que el componente ct quede expresado directamente en términos de desviaciones porcentuales de la serie respecto a la tendencia, que se consideran como una estimación del ciclo de la serie.

La cantidad λ es el parámetro de suavidad con el cual se controla la aceleración en el componente de tendencia, es decir, las variaciones en la tasa de crecimiento del componente de tendencia. λ debe ser positiva para que la segunda derivada sea positiva y se garantice así que se obtuvo un mínimo.

La ecuación anterior puede interpretarse como buscar el mínimo de (F + λS), donde F representa el grado de ajuste y S el grado de suavidad de Tt. El parámetro λ representa la importancia que se atribuye a F con relación a S. Entre mas pequeño λ, mas suave es la tendencia.

En particular, si λ = 0 resulta que Tt es igual a la serie de tiempo original y ct = 0; si λ tiende a infinito los valores tendenciales son representados por la línea recta de los mínimos cuadrados ordinarios y se le asigna la máxima ciclicidad posible a ct.

La hipótesis de trabajo de Hodrick y Prescott es que Tt varia suavemente sobre el tiempo. Ellos están a favor de un valor de λ bastante alto aun cuando advierten que puede no ser adecuado para todas las variables. Su escogencia de λ = 1600 para datos trimestrales se argumenta en que un 5 % de la desviación de la tendencia por trimestre es tan moderadamente grande como un cambio de un 1/8 del 1 % en la tasa de crecimiento en un trimestre, esto puede verse en el cálculo siguiente:

[pic 2]

Con esta estimación se producen ciclos relativamente regulares. Un aspecto importante es que el grado de suavidad depende del nivel de variabilidad de la serie original. Dado que los autores utilizan λ = 1600 con datos trimestrales, con observaciones anuales debería emplearse un λ menor que 1600, ya que las segundas diferencias de una serie anual son mayores a las de una serie trimestral y no es necesario resaltarlas tanto.

En el caso de una serie mensual se recomienda usar un λ mayor o igual a 1600 por un razonamiento similar al anterior.

Baxter y King (1999) realizan una crítica a los analistas de ciclos económicos. Cuando se estiman metodologías de cálculo de los ciclos, se han dejado de lado las características propias de los mismos. Su objetivo es encontrar un método útil para medir ciclos económicos y que éste sea óptimo, por ejemplo, que cumpla con las especificaciones sobre ciclos asignadas por el investigador.

Su procedimiento se resume en: medir el ciclo, para lo cual el investigador debe especificar ciertas características del mismo y posteriormente se le aísla, aplicando promedios móviles a los datos. Baxter y King (1999) desarrollan 3 tipos de filtro lineal: “low-pass”, “high-pass” y “band-pass”.

Intuitivamente, un filtro “low-pass” sólo retendrá los componentes que se mueven lento en los datos, esto es, que se producen con frecuencias muy bajas, −w < w < w, siendo w un límite bajo de frecuencias. Por la relación inversa entre p y w, entre menor sea la frecuencia mayor va a ser la cantidad de períodos que abarca un ciclo. Un filtro “low-pass” se representa como LP k(p), en donde k es el número de rezagos de los promedios móviles y (p) la periodicidad mínima aceptable en el filtro

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