Lagrange

EJEMPLO. Use los polinomios interpolantes de Lagrange de grados uno, dos y tres, más apropiados, para aproximar f(2.5), si f(2.0)= 0.5103757 , f(2.2)= 0.5207843 , f(2.4)= 0.5104147 , f(2.6)= 0.4813306 y f(2.8)= 0.4359160.

SOLUCION. Podemos reorganizar los datos para llevarlos a un formato más familiar:

Xi F(Xi)

Xo 2.0 0.5103757 F(Xo)

X1 2.2 0.5207843 F(X1)

X2 2.4 0.5104147 F(X2)

X3 2.6 0.4813306 F(X3)

X4 2.8 0.4359160 F(X4)

Y debemos aproximar teniendo a X = 2.5

Como 2.5 ∈[2.4 , 2.6], entonces el polinomio de interpolación de Lagrange de grado uno más apropiado, es el que se obtiene tomando los nodos x0=2.4 y x1=2.6, ya que éstos son los dos nodos más cercanos a 2.5.

Para el caso de grado dos, habría dos polinomios interpolantes igualmente apropiados:

Un primer polinomio se obtiene tomando los nodos x0=2.2, x1=2.4 y x2=2.6

y el otro se obtiene tomando los nodos x0=2.4 , x1=2.6 y x2=2.8

La longitud de los intervalos es la misma (0.4), de modo que debemos calcular 2 polinomios y luego tendremos que calcular el error de esa interpolación.

(Favor hacer zoom)

¿Cuál de todas las aproximaciones calculadas es la mejor? Debemos calcular el error de la interpolación. Debemos usar la expresión que se manejó en el método de Newton (sí.. el de Newton).

A continuación se muestra el cálculo del error para este polinomio de segundo orden, teniendo en cuenta los dos grupos de puntos:

Como puede verse el error absoluto en ambos casos es de 0.000149. De modo que cualquiera de las 2 interpolaciones se puede elegir.

Lo que sucede es que para este ejemplo, hay total simetría de los rangos y de la ubicación del punto con respecto a los extremos de ese rango, pero en términos generales, de dos aproximaciones calculadas que utilicen el mismo número de nodos, se espera que sea mejor la que use los nodos más cercanos al dato a interpolar.

Para el caso de grado tres, habría dos polinomios interpolantes igualmente apropiados:

Un primer polinomio se obtiene tomando los nodos x0=2.0, x1=2.2, x2=2.4 y x3=2.6

y el otro se obtiene tomando los nodos x0=2.2, x1=2.4, x2=2.6 y x3=2.8

La longitud de los intervalos es la misma (0.6), de modo que debemos calcular 2 polinomios y luego tendremos que calcular el error de esa interpolación.

¿Cuál de todas las aproximaciones calculadas es la mejor? Debemos calcular el error de la interpolación. Debemos usar la expresión que se manejó en el método de Newton (sí.. el de Newton).

A

...