Lagrange e Integrales

MATEMATICAS III                                                                                     Prof. EULOGIO HERRERA

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE E INTEGRALES MULTIPLES

1. Utilizar multiplicadores de Lagrange para hallar el extremo indicado con x, y y z positivos:

1. Minimizar [pic 1] restricción [pic 2]
2. Maximizar [pic 3] restricción [pic 4]
3. Minimizar [pic 5] restricción [pic 6]
4. [pic 7] restricción [pic 8]
5. Minimizar [pic 9] restricciones [pic 10]; [pic 11]
6. Maximizar [pic 12] restricciones [pic 13]; [pic 14]
7. Maximizar [pic 15] restricciones [pic 16]; [pic 17]

1. Un disco circular tiene la forma de la región limitada por la circunferencia [pic 18]. T grado es la temperatura en cualquier punto (x,y) del disco y [pic 19]. Use multiplicadores de Lagrange para hallar los puntos más calientes y los más fríos en el disco.
2. Determine la distancia más corta del punto (1,3,0) al plano [pic 20].
3. Determine las dimensiones relativas de una caja rectangular sin tapa y que tiene un área superficial de 216 ft2, si el volumen debe ser máximo.
4. Un semicírculo esta sobre un rectángulo (ver figura). Si el área es fija y el perímetro es un mínimo, o si el perímetro es fijo y el área es un máximo, utilizar multiplicadores de Lagrange para verificar que la longitud del rectángulo es el doble de su altura.[pic 21]

1. Un contenedor (en forma de un sólido rectangular) debe tener un volumen de 480 ft3. construir la base costará $5 por ft2 y construir los lados y la parte superior costará $3 por ft2. utilizar multiplicadores de Lagrange para determinar las dimensiones del contenedor de este tamaño que minimicen el costo.
2. Una empresa tiene tres fábricas, en cada una de las cuales se elabora el mismo producto. Si la fabrica A produce x unidades, la fabrica B produce y unidades y la fabrica C produce z unidades, sus respectivos costos de producción son ([pic 22]), ([pic 23]) y ([pic 24]) (dólares). Si se va a surtir un pedido de 1100 unidades, emplee el método de multiplicadores de Lagrange para determinar cómo debe distribuirse la producción entre las tres fábricas a fin de minimizar el costo de la producción total.
3. Dibuje la región y cambie el orden de integración:

1. [pic 25]
2. [pic 26].
3. [pic 27].
4. [pic 28]
5. [pic 29]
6. [pic 30]

1. Use una integral doble para hallar el área de la región acotada por:

1. [pic 31]; [pic 32]; y = 0
2. [pic 33]; y = 2x
3. [pic 34]; x = 0; y = 0
4. [pic 35]; [pic 36]
5. [pic 37]; [pic 38]
6. [pic 39]; [pic 40]
7. [pic 41]; [pic 42]
8. [pic 43]; [pic 44]; el eje x (primer cuadrante, con dxdy luego dydx y comparar los resultado)

1. Dibuje el área y cambie el orden de integración de la integral dada por:

1. [pic 45]
2. [pic 46]
3. [pic 47]

1. Dada la gráfica, halle el área tomando el orden dxdy y luego dydx[pic 48][pic 49][pic 50]

a.-         y                                           b.-                           y                           c.-          y

1. Evaluar la integral iterada:

1. [pic 51]
2. [pic 52]
3. [pic 53]
4. [pic 54]
5. [pic 55]
6. [pic 56]

1. Use integral doble para calcular el volumen limitado por:

1. [pic 57]; [pic 58]; x = 0; x = π/2; z = 0; plano xy
2. Arriba por z = 4 – x – y y abajo por el rectángulo [pic 59]
3. Los planos coordenados; [pic 60]; [pic 61] (primer octante)
4. [pic 62]; [pic 63] (primer octante)
5. z = 0; z = x2; x = 0; x = 2; y = 0; y = 4
6. z = 9 – x2 – y2; z = 0
7. x2 = 9 – y; z2 = 9 – y (primer octante)
8. Bajo el plano z = 4x y arriba de [pic 64]
9. x = y + 2z + 1; x = 0; y = 0; z = 0 y 3y + z – 3 = 0
10. x + z2 = 1; x = y; x = y2

1. Evaluar la integral doble cambiando a coordenadas polares:

1. [pic 65]
2. [pic 66]
3. [pic 67]
4. [pic 68]
5. [pic 69]
6. [pic 70]

1. Utilice una integral doble en coordenadas polares para hallar el volumen del sólida limitado por:

1. [pic 71]; [pic 72]; [pic 73]
2. [pic 74]; [pic 75]; x ≥ 0
3. [pic 76]; [pic 77]; [pic 78]; 0 ≤ y ≤ x
4. [pic 79]; [pic 80]; x ≥ 0; y ≥ 0
5. z = xy; x2 + y2 = 1 (primer octante)
6. z = x2 + y2 + 3; z = 0; x2 + y2 = 1
7. Interior al hemisferio [pic 81] e interior al cilindro [pic 82]
8. Interior al hemisferio [pic 83] y exterior al cilindro [pic 84]
9. El paraboloide [pic 85] y bajo el plano [pic 86]
10. La esfera [pic 87] cortada por el cilindro [pic 88]

1. Utilice un cambio de variable para hallar el volumen del sólido que se encuentra bajo [pic 89] y sobre la región plana “R”

1. [pic 90]; R: vértices (4,0); (6,2); (4,4); (2,2)
2. [pic 91]; R: vértices (0,0); (1,1); (5,0); (4,-1)
3. [pic 92]; R: vértices (0,0); (-2,3); (2,5); (4,2)
4. [pic 93]; R: vértices (0,0); (a,0); (0,a)
5. [pic 94]; R: xy = 1; xy = 4; x = 1; x = 4

1. Hallar el área de la superficie dada por [pic 95] sobre la región R:

1. [pic 96]; R: triángulo (0,0); (2,0); (0,2)
2. [pic 97]; [pic 98]
3. [pic 99]; R: cuadrado (0,0); (3,0); (0,3); (3,3)
4. [pic 100]; [pic 101]
5. [pic 102]; [pic 103]
6. Porción del plano [pic 104] en el primer octante
7. Porción del paraboloide [pic 105] en el primer octante
8. Porción de la esfera [pic 106] en el interior del cilindro [pic 107]
9. Porción del cono [pic 108] en el interior del cilindro [pic 109]

1. Utilice integral triple para hallar el volumen del sólido limitado por:

1. El plano [pic 110] y los planos coordenados en el primer octante.
2. [pic 111]; z = 0; x = 0; y = 2x
3. El paraboloide [pic 112] y el plano z = 0
4. Interior común bajo la esfera [pic 113] y sobre el paraboloide [pic 114]
5. El cilindro [pic 115], el plano x + y = 2 y los tres planos coordenados en el primer octante.
6. Arriba del paraboloide elíptico [pic 116] y por debajo del cilindro [pic 117]

1. Dibujar el sólido cuyo volumen esta dado por la integral triple y reescribir la integral utilizando el orden de integración indicado. Halle dicho volumen.

1. [pic 118], reescribir al orden dydxdz
2. [pic 119], reescribir al orden dzdxdy
3. [pic 120], reescribir al orden dzdydx
4. [pic 121], reescribir al orden dxdydz
5. [pic 122], reescribir al orden dxdydz
6. [pic 123], reescribir al orden dydzdx

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