ECUACIONES DIFERENCIALES DE LAGRANGE.

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MATEMATICA III[pic 6]

ECUACIONES DIFERENCIALES DE LAGRANGE

Objetivos

• Investigar acerca del método de Lagrange y aplicar en la resolución de una ecuación diferencial.
• Distinguir los tipos de ecuaciones diferenciales para así aplicar el método correspondiente, como en este caso el de Lagrange.

Definición:

ECUACIÓN DE LAGRANGE:

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Donde  es una función continuamente diferenciable. El interés que presenta este tipo de ecuación se debe al hecho de que tiene como solución a una familia de rectas. Además, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes están dadas por la familia, también es solución, en este caso una solución singular, de la ecuación de Clairouts.[pic 8]

Ecuación de Lagrange

Son de la forma   donde  no puede ser igual . Se resuelven derivando y llamando    con lo que obtenemos   esta ecuación es lineal y se integra tomando  como función de . [pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

En conclusión la solución es prácticamente sencilla solo tenemos que tener muy presente la sustitución:

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Considerando sus diferentes derivadas y  lineal.[pic 17]

Procedimiento:

Las ecuaciones diferenciales de Lagrange son de la siguiente forma:

[pic 18]

                                        (1)

Para resolver la ecuación diferencial de Lagrange se transforma en otra ecuación diferencial en  como función de P, haciendo   de donde    [pic 19][pic 20][pic 21]

Luego se sustituye   en la ecuación; (1)[pic 22]

                                        (2)[pic 23]

Diferenciando la ecuación (2)  se tiene:

                         (3)[pic 24]

Reemplazando en la ecuación  (3):

                         (4)[pic 25]

La ecuación (4) se puede expresar en la forma:

[pic 26]

Que es una ecuación diferencial lineal en , cuya solucion general es          donde   es un parámetro y la solución general de la ecuación (1) se da en forma paramétrica.[pic 27][pic 28][pic 29]

    , P es un parámetro                        [pic 30]

        Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

• [pic 31]

Solución

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[pic 68]

• [pic 69]

Solución

Sea    ⇒   , [pic 70][pic 71]

Reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:

, [pic 72]

Diferenciando se tiene:

,[pic 73]

Reemplazando

              [pic 74]

,  simplificando[pic 75]

...