Polinomio De Lagrange

INSTRUCCIONES

Resuelva detalladamente cada uno de los siguientes ejercicios y conteste las preguntas que se le hagan. En cada uno muestre la gráfica de interpolación.

E J E R C I C I O 1

Debido a que son 3 datos experimentales el polinomio de interpolación será de segundo grado:

P_2 (x)=y_1 L_1 (x)+y_2 L_2 (x)+y_3 L_3 (x)

S(v)=s_1 L_1 (v)+s_2 L_2 (v)+s_3 L_3 (v)

S(v)=0.10377L_1 (v)+0.11144L_2 (v)+0.12540L_3 (v)

Para el cálculo de los Lagrangianos se tiene:

L_1 (v)=((v-0.11144)(v-0.12540))/((0.10377-0.11144)(0.10377-0.12540))

L_2 (v)=(v-0.10377)(v-0.12540)/(0.11144-0.10377)(0.11144-0.12540)

L_3 (v)=(v-0.10377)(v-0.11144)/(0.12540-0.10377)(0.12540-0.11144)

Quedando el polinomio de la siguiente manera:

S(v)=-54.9823*V^2+28.8602*V+4.01194

La entropía para un volumen especifico de 0.108m^3/kg es de: 6.4875KJ/kg*K

La grafica del polinomio es:

Para la interpolación inversa se tiene que para el cálculo de los Lagrangianos:

L_1 (s)=((s-6.5453)(s-6.7664))/((6.4147-6.5453)(6.4147-6.7664))

L_2 (s)=(s-6.4147)(s-6.7664)/(6.5453-6.4147)(6.5453-6.7664)

L_3 (s)=(s-6.4147)(s-6.5453)/(6.7664-6.4147)(6.7664-6.5453)

Para que la interpolación quede de la siguiente forma:

v(s)=v_1 L_1 (s)+v_2 L_2 (s)+v_3 L_3 (s)

v(s)=6.4147L_1 (s)+6.5453L_2 (s)+6.7664L_3 (s)

Resolviendo el polinomio de interpolación inversa es:

v(s)=0 .1254e-1*S^2-0.1038*S+0.2535

El volumen a una entropía de 6.6 KJ/Kg*K es de 0.1148m^3/kg

La gráfica es:

Codificación

syms V

>> L1=expand((V-v(2))*(V-v(3))/((v(1)-v(2))*(v(1)-v(3))))

>> L2=expand((V-v(1))*(V-v(3))/((v(2)-v(1))*(v(2)-v(3))))

>> L3=expand((V-v(1))*(V-v(2))/((v(3)-v(1))*(v(3)-v(2))))

>> S=expand(s(1)*L1+s(2)*L2+s(3)*L3)

vpa(S)

ans =

-54.9825*V^2+28.8602*V+4.01194

>> plot(v,s,'b*');grid on

>> hold on

>> ezplot(S,[0.10,0.14])

>> subs(S,0.108)

ans = 6.48752587557312

Inciso b

syms S

>> L1=expand((S-s(2))*(S-s(3))/((s(1)-s(2))*(s(1)-s(3))))

>> L2=expand((S-s(1))*(S-s(3))/((s(2)-s(1))*(s(2)-s(3))))

>> L3=expand((S-s(1))*(S-s(2))/((s(3)-s(1))*(s(3)-s(2))))

>> V=expand(v(1)*L1+v(2)*L2+v(3)*L3)

>> vpa (V)

ans =

.12538833835981495277529914782072e-1*S^2-.10377434317588136590849310029427*S+.25349862875734199617199467594177

>> plot(s,v,'r*');grid on

>> hold on

>> ezplot(V,[6.40,6.80])

>> title('Ejercicio 1');legend('Datos exxperimentales','Interpolación inversa')

subs(V,6.6)

ans = 0.1148

E J E R C I C I O 2

Solución:

Determine el polinomio de interpolación de LaGrange de 2° grado para la velocidad empleando únicamente los puntos rojos de la tabla.

*Como son tres datos N=3, por lo tanto el polinomio de LaGrange es de 2° grado.

Sabiendo que el polinomio de LaGrange tiene la forma:

P(x)=y_1 L_1 (x)+y_2 L_2 (x)+⋯+y_N L_N (x)

Como la velocidad está en función del tiempo, el polinomio queda:

v(t)=0.80L_1 (t)+3.09L_2 (t)+4.75L_3 (t)

Calculando los La granjéanos

L_1 (t)=(t-5)(t-13)/(1-5)(1-13) = L1 =

T^2/48 - (3*T)/8 + 65/48

L_2 (t)=(t-1)(t-13)/(5-1)(5-13) = L2 =

- T^2/32 + (7*T)/16 - 13/32

L_3 (t)=(t-1)(t-5)/(13-1)(13-5) = L3 =

T^2/96 - T/16 + 5/96

Polinomio Obtenido

V =- (73*T^2)/2400 + (151*T)/200 + 181/2400

Grafica

CÓDIGO EMPLEADO

%EJERCICIO 2 (a)

%Datos de t y v

t

v

%Guardando valores en una variable

syms T

%Calculando los Granjéanos

L1=expand((T-t(2))*(T-t(3))/((t(1)-t(2))*(t(1)-t(3))))

L2=expand((T-t(1))*(T-t(3))/((t(2)-t(1))*(t(2)-t(3))))

L3=expand((T-t(1))*(T-t(2))/((t(3)-t(1))*(t(3)-t(2))))

%Colocando los datos en el polinomio

V=expand(v(1)*L1+v(2)*L2+v(3)*L3)

%Graficando la función

plot(t,v,'r*');grid on

%Graficando la función con el polinomio obtenido

hold on

ezplot(V,[0,14]);grid on

ylabel ('v(m/s)')

xlabel('t(s)')

Calcule el polinomio de interpolación de LaGrange empleando todos los puntos.

*Son cinco datos N=5, por lo tanto el polinomio de LaGrange es de 4° grado.

Sabiendo que el polinomio de LaGrange tiene la forma:

P(x)=y_1 L_1 (x)+y_2 L_2 (x)+⋯+y_N L_N (x)

Como la velocidad está en función del tiempo, el polinomio queda:

v(t)=0.80L_1 (t)+2.31L_2 (t)+3.09L_3 (t)+3.94L_4 (t)+4.75L_5 (t)

Calculando los La granjéanos

L_1 (t)=(t-3)(t-5)(t-7)(t-13)/(1-3)(1-5)(1-7)(1-13) = L1 =

T^4/576 - (7*T^3)/144 + (133*T^2)/288 - (257*T)/144 + 455/192

L_2 (t)=(t-1)(t-5)(t-7)(t-13)/(3-1)(3-5)(3-7)(3-13) = L2 =

- T^4/160 + (13*T^3)/80 - (27*T^2)/20 + (323*T)/80 - 91/32

L_3 (t)=(t-1)(t-3)(t-7)(t-13)/(5-1)(5-3)(5-7)(5-13) = L3 =

T^4/128 - (3*T^3)/16 + (87*T^2)/64 - (53*T)/16 + 273/128

L_4 (t)=(t-1)(t-3)(t-5)(t-13)/(7-1)(7-3)(7-5)(7-13) = L4 =

- T^4/288 + (11*T^3)/144 - (35*T^2)/72 + (157*T)/144 - 65/96

L_5 (t)=(t-1)(t-3)(t-5)(t-7)/(13-1)(13-3)(13-5)(13-7) = L5 =

T^4/5760 - T^3/360 + (43*T^2)/2880 - (11*T)/360 + 7/384

Polinomio Obtenido

V = - (127*T^4)/72000 + (101*T^3)/2250 - (7073*T^2)/18000 + (4081*T)/2250 - 3187/48

Grafica

CÓDIGO EMPLEADO

%EJERCICIO 2 (b)

%Datos de t y v

t

v

%Guardando valores en una variable

syms T

%Calculando los Granjéanos

L1=expand((T-t(2))*(T-t(3))*(T-t(4))*(T-t(5))/((t(1)-t(2))*(t(1)-t(3))*(t(1)-t(4))*(t(1)-t(5))))

L2=expand((T-t(1))*(T-t(3))*(T-t(4))*(T-t(5))/((t(2)-t(1))*(t(2)-t(3))*(t(2)-t(4))*(t(2)-t(5))))

L3=expand((T-t(1))*(T-t(2))*(T-t(4))*(T-t(5))/((t(3)-t(1))*(t(3)-t(2))*(t(3)-t(4))*(t(3)-t(5))))

L4=expand((T-t(1))*(T-t(2))*(T-t(3))*(T-t(5))/((t(4)-t(1))*(t(4)-t(2))*(t(4)-t(3))*(t(4)-t(5))))

L5=expand((T-t(1))*(T-t(2))*(T-t(3))*(T-t(4))/((t(5)-t(1))*(t(5)-t(2))*(t(5)-t(3))*(t(5)-t(4))))

%Colocando los datos en el polinomio

V=expand(v(1)*L1+v(2)*L2+v(3)*L3+v(4)*L4+v(5)*L5)

%Graficando la función

plot(t,v,'r*');grid on

%Graficando la función con el polinomio

...