Polinomio

Es una expresión algebraica constituida por un número finito de variables y constantes, es decir, que en matemáticas se designa con el término de polinomio a la suma de varios monomios (expresiones algebraicas), porque un polinomio es una expresión algebraica, constituida por una o más variables, utilizando únicamente operaciones aritméticas, tales como suma, resta, multiplicación y exponentes numéricos positivos.

ELEMENTOS DE UN POLINOMIO

Constantes: como ( 3, -20,… o ½… +∞)

Variables: como (X, Y, Z…)

Exponentes: como (el 2 en y2) pero sólo pueden ser (0, 1, 2, 3, …+∞)

CLASIFICACION DE POLINOMIOS

Polinomio Nulo: Es aquel que tiene todos sus coeficientes nulos.

P(x) = 0

Polinomio Homogéneo: Tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.

P(x) = 2x2 + 3xy

Polinomio Heterogéneo: Los términos de éste polinomio son de distinto grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 - 3

Polinomio Completo: Este tiene todos los términos (desde el termino independiente hasta el termino de mayor grado).

P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x – 3

Polinomio Ordenado: Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menos grado.

P(x) = 2x3 + 5x – 3

Polinomios Iguales: Dos polinomios son iguales si verifican:

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x3 + 5x – 3

Q(x) = 5x - 3 + 2x3

Polinomios Semejantes: Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.

P(x) = 2x3 + 5x – 3

Q(x) = 5x3 − 2x – 7

Según el número de términos:

El polinomio que presenta un único término se denomina monomio; el polinomio que presenta dos términos se denomina binomio y el de tres términos se denomina trinomio.

Ejemplo:

Según su grado:

El grado de un polinomio con una sola variable es el mayor exponente de esa variable.

Polinomio de Grado Cero: P(x) = 2

Polinomio de Primer Grado: P(x) = 3x + 2

Polinomio de Segundo Grado: P(x) = 2x2 + 3x + 2

Polinomio de Tercer Grado: P(x) = x3 - 2x2 + 3x + 2

Polinomio de Cuarto Grado: P(x) = x4 + x3 - 2x2 + 3x + 2

Los nombres de los grados son los siguientes:

0 constante

1 lineal

2 cuadrático

3 cúbico

4 cuartico

5 quintico

ORDEN DE LOS POLINOMIOS

De forma decreciente: Ordenar un polinomio de forma decreciente significa colocar los términos, según su grado, de mayor a menor.

Ejemplo: 9x^(5 )+ 6x^10+3+5x^3+ 2x^4

se escribe de forma decreciente así: 6x^10+9x^(5 )+ 2x^4+5x^3+3

De forma creciente: Ordenar un polinomio de forma creciente significa escribir los términos del polinomio, según su grado, de menor a mayor.

Ejemplo: 4x^4+3x^3-x+ 2x^2

se escribe de forma decreciente así: -x+2x^(2 )+ 3x^3+4x^4

ESPECIALIZACION DE LOS POLINOMIOS

Especializar un polinomio significa reemplazar la variable (x) por un valor determinado.

Ejemplo:

Especializar P(x) = 2.x4 – 5.x3 – 10 en x = ½

P(½ ) = 2(½ )4 – 5(½ )3 – 10 = 10,5.

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Suma o Adición de Polinomios:

La suma de polinomios es una operación, en la que partiendo de dos polinomios P(x) y Q(x), obtenemos un tercero R(x), que es el resultado de la suma de los dos anteriores, R(x) tiene por coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de los monomios P(x) y Q(x) del mismo grado.

Para sumar polinomios los colocamos uno debajo del otro, de forma en que los términos semejantes queden en columnas; luego se reducen los términos semejantes obteniendo la suma. Para ello, es necesario ordenar el polinomio de forma decreciente o creciente y se orden los polinomios de igual grado, uno debajo del otro y por último se efectúa una suma algebraica entre los coeficientes.

Ejemplo (a): P(x) = 2x^2+6x+5 y Q(x) = 3x^2-2x-1

se junta los términos similares: 2x^2+3x^2 + 6x-2x + 5-1

se suma los términos similares: (2+3) x^2 + (6-2)x + ( 5-1)

resultado: R(x) = 5x^2 + 4x + 4

Ejemplo (b): (2x^2+6y+3xy) + (3x^2-5xy-x) + (6xy+5)

2x^2 + 6y + 3xy

3x^2 - 5xy - x

6xy + 5

5x^2 + 6y + 4xy - x + 5

Resta o Sustracción de Polinomios:

La resta de los polinomios se define como la suma del opuesto del polinomio sustraendo, es decir, en la que partiendo de dos polinomios P(x) y Q(x), obtenemos un tercero R(x), que es el resultado de la resta de los dos anteriores, R(x) tiene por coeficiente de cada monomio el de la resta de los coeficientes de los monomios P(x) y Q(x) del mismo grado.

Para realizar esta operación es necesario tomar en cuenta los signos (al igual que en la suma), ya que si tenemos un signo negativo o un menos (-) antes de un paréntesis, entonces cambian todos los signos de los términos que se encuentran dentro del paréntesis.

Ejemplo (a): - (5 + 2 – 4 + 3 – 6) = – 5 – 2 + 4 – 3 + 6

es importante destacar que si el numero no posee signo, significa que es positivo.

Ejemplo (b): (4b + p + 3f) – (5b + 8p + 9f)

Eliminamos los paréntesis y cambiamos los signos correspondientes

4b + p + 3f – 5b – 8p – 9f

Ordenamos los términos semejantes y se suma o se resta según la regla de los signos:

4b + p + 3f

– 5b – 8p – 9f

– b – 7p – 6f

Multiplicación de un Polinomio (Monomio por un Monomio):

En la multiplicación de polinomios los exponentes se suman, es decir, la multiplicación de dos monomios se lleva a cabo usando las leyes de exponentes y

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