POLINOMIO

Polinomio

Un Polinomio

Es una expresión algebraica (conjunto de números y letras que representan números, conectados por las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación…) compuesta de distintos términos conectados por la operación de suma. En un polinomio, estos términos serán monomios.

Un Monomio

Un monomio es una expresión algebraica, compuesta de un valor conocido (un número) al que llamamos coeficiente del monomio, que multiplica a un conjunto de letras, llamadas parte literal.

Dos monomios se dicen semejantes si tienen exactamente la misma parte literal.

Ejemplo: -3x2y3; 5xy2 Son monomios; 5xy2-3x2y3 es un polinomio cuyos términos son los monomios anteriores.

Llamamos polinomio a toda expresión de la forma

an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0

Donde n Є N0 y an , an-1 , ... , a1 , a0 son números reales, que denominamos coeficientes.

Polinomio Nulo

El polinomio cuyos coeficientes son todos ceros recibe el nombre de polinomio nulo

Ejemplo:

En el polinomio

4 x5 + 3x4 - 2x3 - 1/2 x +1

Se tiene:

Grado  5

Coeficientes  4, 3, -2, 0, -1/( 2) ,1

Coeficiente principal  4

Término independiente 1

Si an ≠ 0, decimos que el polinomio tiene grado n y an es llamado el coeficiente principal.

El coeficiente a0 recibe el nombre de término independiente.

El polinomio nulo carece de grado.

Función Polinómica

Es posible asociar a cada polinomio

an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0

Una única función p: R  R definida por

p (x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 ,

Y recíprocamente, a cada función de esta forma es posible asociarle un polinomio.

Llamamos a la función p(x), función polinómica.

Grado de un Polinomio.

El grado de un monomio es el número de letras (contadas tantas veces como indica su exponente) de la parte literal.

Ejemplo:

-3x2y3; tiene grado 5 (2+3) ; 5xy2 tiene grado 3 (1+2)

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos.

Ejemplo:

5xy2 - 3x2y3; tiene grado 5 (el mayor entre 5 y 3)

23x2y6 + x7y3; tiene grado 10 (el mayor entre 10 y 8)

Operaciones con Polinomios

A continuación mostraremos cómo se pueden realizar las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división entre polinomios.

Suma de polinomios

La suma de dos polinomios consiste en colocar todos los términos de los polinomios en un nuevo polinomio, y agrupar luego los monomios semejantes

Una forma práctica de realizar esta operación es ordenar los polinomios y escribir uno debajo del otro.

Si falta algún término intermedio en algún polinomio, lo completamos escribiendo dicho término con coeficiente 0, o dejando el espacio vacío.

Calculemos la suma de los polinomios:

p(x) = 3x2 + 2x + 1 y q(x) = 5x3 - 7x + 8

p(x) = + 3x2 + 2x + 1

+

q(x) = 5x3 + 0x2 -7x + 8

p(x) + q(x) = 5x3 + 3x2 - 5x + 9

Resta de polinomios

Para este caso también es conveniente ordenar los polinomios y escribir uno debajo del otro.

Observemos que...

Hemos obviado los términos con coeficiente nulo. Siempre supondremos que los términos faltantes tienen coeficiente 0.

Calculemos ahora la resta de los polinomios

p(x) = x5+2x4-7x3+8 y q(x) = x5+5x4-4x2+5

p (x) = x5 + 2x4 - 7x3 +8

–

q (x) = x5 + 5x4 - 4x2 +5

p (x) – q (x) = - 3x4 - 7x3 + 4x2 + 3

El polinomio que resulta de la suma o la resta puede ser el polinomio nulo, o su grado puede ser menor o igual al del polinomio de mayor grado que estamos sumando o restando.

Grado ( p (x) ± q (x)) ≤ máx {grado p (x), grado q (x)}

Producto de polinomios

El producto de dos polinomios, consiste en multiplicar cada uno de los términos del primer polinomio con cada uno de los términos del segundo, siendo el resultado un polinomio cuyos términos son todos estos productos. Finalmente habrá que agrupar los términos semejantes para obtener el polinomio producto.

La multiplicación de cada par de términos se hace de la siguiente forma:

1º.- Se multiplican coeficientes:

a) Se multiplican los signos (ley de signos)

b) Se multiplican los números

2º.- Se multiplican las partes literales, para ello, se suman los exponentes de las diferentes letras

Para calcular el producto de dos polinomios multiplicamos cada uno de los términos de un polinomio por cada uno de los términos del otro y sumamos, es decir, aplicamos la propiedad distributiva.

Para multiplicar los polinomios

p(x) = 7x3 - 5x + 2 y (x) = 2x2 + 5 x - 1,

Una disposición práctica es la siguiente

p(x): 7x3 -5x + 2

x

q (x): 2x2 +5x -1

- 07x3 + 5x - 2

35x4 -25x2 +10 x

14x5 -10x3 + 4x2

p (x).q(x) = 14x5+35x4-17x3-21x2+15x-2

Observemos que...

Cuando se multiplican dos polinomios no nulos el resultado es un polinomio cuyo grado es igual a la suma de los grados de los polinomios factores.

Grado ( p (x) . q (x)) = grado p (x) + grado q (x)

División de polinomios

Al realizar una división entre dos números enteros puede que el resto sea distinto de cero.

Pero el resto de la división entre dos números enteros nunca puede ser negativo.

Así, si queremos dividir 7 por 4 obtenernos.

Dividendo  7 4  divisor

Resto  3 1 cociente

Se verifica entonces que

7 = 4 * 1 + 3,

Y el resto es siempre menor que el valor absoluto del divisor, en este caso, 3 < |4|.

Vamos a utilizar esta misma idea para realizar la división

...