Polinomios

PARTE I: INTRODUCCION A POLINOMIOS

Los polinomios figuran entre las funciones más sencillas que se estudian en Análisis. Son adecuadas para trabajar en cálculos numéricos porque sus valores se pueden obtener efectuando un número finito de multiplicaciones y adiciones.

Veremos que muchas funciones pueden aproximarse mediante polinomios y que éstas, en lugar de la función original, pueden emplearse para realizar cálculos cuando la diferencia entre el valor real de la función y la aproximación polinómica es suficientemente pequeña.

DEFINICION

En matemáticas, se denomina polinomio a la suma de varios monomios (llamados términos del polinomio). Es una expresión algebraica constituida por un número finito de variables y constantes, utilizando solamente en operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación con exponentes de números naturales.

FUNCIONES POLINOMICAS

Las funciones polinómicas son aquellas que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. Son una clase de funciones suaves, esto es, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes finitos).

Debido a su estructura simple, los polinomios son muy sencillos de evaluar, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.

En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.

FACTORIZACION

Para factorizar un polinomio de segundo grado completo (con todos los términos) se divide por el inverso de una de sus raíces sumado con la incógnita, siendo los factores el número por el que dividimos y el resultado; ya que no hay resto, cumpliéndose así que dividendo = divisor Χ cociente + resto. En caso de que el polinomio no tenga término independiente se sacará la incógnita como factor común y ya está factorizado. También se puede factorizar usando las igualdades notables.

GRADO DE UN POLINOMIO

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Polinomio de grado cero

P(x) = 2

Polinomio de primer grado

P(x) = 3x + 2

Polinomio de segundo grado

P(x) = 2x2+ 3x + 2

Polinomio de tercer grado

P(x) = x3 - 2x2+ 3x + 2

Polinomio de cuarto grado

P(x) = x4 + x3 - 2x2+ 3x + 2

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO:

Es el número que se obtiene al sustituir la x por un valor dado y efectuar, luego, las operaciones indicadas.

Ejemplo:

Sea P(x) = x2 + 3x – 4 hallar P(2) Þ P(2) = 22 + 3.2 – 4 Þ P(2) = 4 + 6 – 4 ÞP(2) = 6

Polinomio opuesto

Dado dos polinomios, se dicen que son opuestos si sus coeficientes, de igual grado, son opuestos. Para indicar que es el polinomio opuesto se ubica un "-" delante del polinomio.

Ejemplo:

Sea P(x) = x2 + 3x – 4 (es opuesto a) - P(x) = - x2 – 3x + 4

Igualdad de polinomios

Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y sus coeficientes de igual grado, son iguales.

Aunque los polinomios pueden tener varias variables en diferentes términos, en este apunte sólo se tratarán los polinomios que tienen una sola variable indeterminada.

TIPOS DE POLINOMIOS

Monomio

Es un polinomio que consta de un sólo monomio.

P(x) = 2x2

Binomio

Es un polinomio que consta de dos monomios.

P(x) = 2x2 + 3x

Trinomio

Es un polinomio que consta de tres monomios.

P(x) = 2x2 + 3x + 5

Polinomio nulo

El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.

Polinomio homogéneo

El polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.

P(x) = 2x2 + 3xy

Polinomio heterogéneo

Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 − 3

Polinomio completo

Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x − 3

Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

1 Los dos polinomios tienen el mismo grado.

2 Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 5x − 3 + 2x3

Polinomios semejantes

Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 5x3 − 2x − 7

Valor numérico de un polinomio

El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1

P(1) = 2 • 13 + 5 • 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4

OPERACIONES CON POLINOMIOS

SUMA DE POLINOMIOS

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

La diferencia consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Producto de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

Producto de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Producto de polinomios

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

Se suman los monomios del mismo grado.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

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