Las series trigonométricas.

LAS SERIES DE FOURIER

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EL DESARROLLO DEL ANALISIS EN EL SIGLO XIX

Fernando Bombal

Universidad Complutense de Madrid

Las Series de Fourier.        Fernando Bombal

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Las series trigonom´etricas surgieron en la Matem´atica en el siglo XVIII, en relaci´on con el estudio de las peque˜nas oscilaciones de medios el´asticos, pero como veremos, su influencia fue decisiva en el desarrollo del An´alisis a lo largo del siglo XIX. Es realmente sorprendente la omnipresencia del tema en multitud de situaciones, de tal modo que puede rastrearse su presencia como motivador de gran parte de los desarrollos m´as importantes acaecidos en este siglo, desde la evoluci´on de la noci´on misma de funci´on hasta el comienzo de la topolog´ıa o los n´umeros transfinitos, pasando por el desarrollo de las distintas nociones de integraci´on. De ello trataremos en esta charla.

1.- El Problema de la Cuerda Vibrante.

A partir del desarrollo del C´alculo en el siglo XVII, ´este se hab´ıa convertido en la principal herramienta para estudiar y modelizar la Naturaleza. La idea b´asica era repre-sentar la evoluci´on de un fen´omeno natural por medio de una ecuaci´on diferencial que relacionaba las distintas magnitudes relevantes en el fen´omeno. Esta ecuaci´on se obten´ıa a partir de un an´alisis del fen´omeno a nivel infinitesimal, utilizando un reducido n´umero de leyes naturales que se hab´ıan ido descubriendo. Los fen´omenos que pod´ıan describirse en t´erminos de una sola variable ven´ıan as´ı regidos por ecuaciones diferenciales ordinarias, que relacionaban la funci´on inc´ognita con sus derivadas. Por ejemplo, la posici´on y(t) (en funci´on del tiempo) de un punto material de masa m que se desplaza a lo largo de una recta atra´ıdo por un centro atractivo O por una fuerza proporcional a la distancia al centro, satisface la ecuaci´on diferencial

A lo largo del siglo XVII y la primera mitad del XVIII se hab´ıan desarrollado consi-derablemente los m´etodos de resoluci´on de este tipo de ecuaciones. Sin embargo, cuando en el fen´omeno estudiado depend´ıa de dos o m´as variables significativas, su modelizaci´on ven´ıa dada por una ecuaci´on en derivadas parciales, mucho m´as dif´ıcil de tratar. Uno de

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Las Series de Fourier.        Fernando Bombal

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los primeros fen´omenos estudiados fue el siguiente: Consideremos una cuerda tensa con los extremos fijos en los puntos x = 0 y x = ` del eje Ox. Si desplazamos ligeramente la cuerda de su posici´on de equilibrio y la soltamos, oscilar´ un plano. Se trata de encontrar la posici´on u = u(x, t) que ocupar´ el punto de abscisa x en el instante t. En el caso de un s´olo punto material, se trata del problema anteriormente ya citado de la oscilaci´on de una masa atra´ıda por un centro atractivo.

Este problema fue abordado por Johann Bernouilli en 1727, considerando primero la oscilaci´on de n masas iguales situadas equidistantes. Para el desplazamiento yk de la k-´esima masa, Bernouilli hab´ıa obtenido la ecuaci´on en diferencias finitas

d2y2k = a2(yk+1 − 2yk + yk−1), dt

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donde a depende de la tensi´on de la cuerda, de la masa total y de la distancia entre las masas puntuales. Bernouilli resolvi´ esta ecuaci´on y consider´ el caso de la cuerda continua haciendo tender n a infinito formalmente. De esta manera, obtuvo que, en cada instante

t, la cuerda toma una forma sinusoidal, soluci´on de la ecuaci´on d2y = −ky (con k funci´on

dx2

del tiempo). Este resultado ya hab´ıa sido obtenido en 1715 por J. Taylor.

En 1747, Jean le Rond D’Alembert, el famoso enciclopedista, se interes´o por el problema. A trav´es de un an´alisis infinitesimal y las leyes f´ısicas pertinentes, D’Alambert obtuvo la ecuaci´on diferencial que rige el fen´omeno, a saber:

donde a es una constante que depende de las caracter´ısticas f´ısicas de la cuerda y que, por simplicidad, supondremos en lo que sigue igual a 1. A continuaci´on, tras unas ingeniosas manipulaciones formales, consigui´ obtener la integral general de la ecuaci´on (1.1) en la forma

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