Limites

                                                             Unidad 3 Límite

El concepto que marca la diferencia entre el cálculo y el álgebra y la trigonometría, es el límite. El límite es fundamental para determinar la tangente de una curva o la velocidad de un objeto

Se desarrolla dicho concepto primero de manera intuitiva. Usaremos límites para describir la forma en que varía una función f. Algunas funciones varían continuamente, los cambios pequeños en x producen ligeras modificaciones en f de x, otras funciones pueden tener valores que saltan o que cambian con brusquedad. El concepto de límite nos proporciona un método precisó para distinguir entre estos comportamientos. La aplicación geométrica del límite para definir la tangente a una curva conduce directamente al importante concepto de la derivada de una función. La derivada qué analizaremos en la siguiente unidad cuantifica la manera en qué cambian los valores de una función.

Definición informal.

Suponga que L denota un número finito el concepto de f(x) que tiende a L, a medida que x tiende a un número a puede definirse

Sí f(x) puede hacerse arbitrariamente próximo al número L al tomar x suficientemente cerca de, pero diferente de un número a entonces el límite de f(x) cuando x tiende a a es L

Y escribimos [pic 1]

Comportamiento de una función cerca de un punto:

[pic 2]

al estar cerca de x=1

Solución: La formula dada define a f para todos los números reales x excepto x=1 no es posible dividir entre 0 para cualquier x diferente a 1, podemos simplificar la fórmula factorizando el numerador y eliminando los factores comunes

  para [pic 3][pic 4]

Por lo tanto, la gráfica de f en la recta y=x+1 sin del punto (1,2) se indica dicho punto eliminado mediante un círculo vacío o hueco. Aun cuándo f(1) no está definida es claro que podemos determinar el valor de f(x) tan cerca como queramos de dos eligiendo un valor de x lo suficientemente cercano al 1

Decimos que el límite de f(x) se acerca dos a medida que x se aproxima a 1 y escribimos

  o   =2[pic 5][pic 6]

Límites infinitos [pic 7]

El símbolo que designa infinito  no representa un número real. Lo usaremos para describir el comportamiento de una función cuando los valores sobrepasan, en su dominio o rango, cualesquiera cotas finitas. Por ejemplo la función f(0)=1/ x está definida para toda  Cuando x es positiva se vuelve muy grande 1/x se hace cada vez más pequeña. Cuando x es negativo y su magnitud se vuelve cada vez más grande nuevamente 1/x se hace más pequeña. Para resumir estas observaciones, diremos que f(x)=1/x tiene límite 0 ese límite de f(x)=1/x al infinito tanto positivo como negativo [pic 8][pic 9]

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