Limites

LÍMITE DE FUNCIONES

Al estudiar el comportamiento de funciones de variable real se requiere, en algunos casos, analizar la existencia del límite de la función en un punto del dominio. Este estudio permitirá analizar la continuidad y la diferenciabilidad de una función. La definición de límite que se presenta a continuación es la formalizada por Weierstrass:εδ−

Definición. Sea f una función de variable real. Dado a∈, se dirá que f admite límite L en el punto a, si y solo si:

()()()()εδδε<−⇒<−<>∃>∀Lxfax000

Lo cual se denota por:

()()limxafxL→=.

Observaciones. Antes de continuar es importante mencionar algunos aspectos de la definición anterior.

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• ()xf tiene sentido si y solo si x pertenece al dominio de f.

• La condición 0>−ax nos indica que estamos analizando el comportamiento de la función en puntos cercanos al punto a. Eventualmente la función podría no estar definida en xa=.

• Si ()limxafxL→≠ es equivalente a: existe 0>ε de modo que existe al menos un ()Domxf∈ tal que δ<−ax pero ()ε≥−Lxf.

Observación. A continuación se analizarán algunos ejemplos de límites, los cuales pueden ser calculados por simple inspección. Sin embargo, la demostración quedará pendiente, ya que aún no se cuenta con las herramientas para calcular límites de funciones.

Ejemplo. Considere Rdcf→[,:] una función constante, es decir,()fxα=, para todo ][,xcd∈. Si se considera ()dca,∈ entonces:

α=→)(limxfax

En efecto, dado 0>ε basta considerar {}min,acdaδ=−−. Por lo tanto, si δ<−ax se tiene que:

()ε<=−=−0cccxf.

De lo anterior se deduce que una función de variable real constante, siempre admite límite en su dominio y este límite es constante.

Ejemplo. Considere la función parte entera ()[]xxf= definida sobre el conjunto de los números reales. Entonces se puede observar que:

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• Si ()1,+∈nna, para algúnNn∈, entonces

()limxafxn→=

• Si Na∈entonces ()limxafx→ no existe.

Ejemplo. Considere la función racional ()211xfxx−=−. Recuerde que el dominio de la función racional está dado por:

}1{)(}01:{)(−=→≠−∈=RfDomxRxfDom

De lo anterior se deduce que 1x= no pertenece al dominio de la función, sin embargo, podemos preguntarnos si existe ()1limxfx→. Si consideramos las siguientes tablas:

x

()fx

x

()fx

0,7

1,700

1,1

2,100

0,8

1,800

1,05

2,050

0,9

1,900

1,04

2,040

0,95

1,950

1,03

2,030

0,96

1,960

1,02

2,020

0,97

1,970

1,01

2,010

0,98

1,980

1,09

2,090

0,999

1,999

1,001

2,001

Se puede observar que cuando x está próximo a 1, entonces ()fx está próximo a 2. De hecho más adelante se muestra que ()1lim2xfx→=.

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Observación. Al igual que en el caso de las sucesiones, si el límite de una función en un punto existe, entonces este límite es único. Lo cual queda de manifiesto en el siguiente teorema.

Teorema 1. Si el límite de una función en un punto existe, el es único.

Observación. El siguiente teorema es equivalente al teorema de límites de sucesiones. El teorema enuncia algunas propiedades que se denominan en su conjunto como álgebra de límites.

Teorema 2. Considere f y g funciones de variable real tales que ()limxafxL→= y ()1limxagxL→=, dondeRLL∈1,, entonces:

a. El ()()()limxafxgx→± existe, además se tiene que:

()()()()()1limlimlimxaxaxafxgxfxgxLL→→→±=±=±

b. El ()()()limxafxgx→⋅ existe, además se tiene que:

()()()()()1limlimlimxaxaxafxgxfxgxLL→→→⋅=⋅=⋅

c. Si ()0gx≠ para x próximo a a y ()lim0xagx→≠ entonces ()()limxafxgx→

existe, además se tiene que:

()()()()1limlimlimxaxaxafxfxLgxgxL→→→

= =

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d. Para todo Ra∈ se tiene que:

()()()()1limlimxaxagxgxLααα→→==

Ejemplo. Considere una función de variable real f tal que ()1lim2xfx→=. Determinemos si existe ()()()()()221310lim4xfxfxfx→+−=− .

Solución. Observe que:

()()()()()()()()()()()()()()()()()22111310255limlimlim2224xxxfxfxfxfxfxfxfxfxfx→→→+−−++==−++−

Del teorema 2 se establece que:

()()()()limlimlimxaxaxafxfxgxgx→→→

= 

Por lo tanto:

()()()()()()()()()()()()()()()()()111lim55lim2lim2limlim5yaquelimlimlimlimlim2257222xxxxaxaxaxaxaxaxafxfxfxfxfxfxgxfxgxfx→→→→→→→→→→++==+++=±=±++==+

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Así de lo anterior se puede deducir que ()()()()()2213107lim24xfxfxfx→+−==−.

Observaciones

• Antes de aplicar el Teorema 2 se debe verificar previamente el cumplimiento de las hipótesis, caso contrario, las conclusiones obtenidas pueden ser falsas.

• Hasta ahora no tenemos herramientas que nos permitan calcular directamente el límite de una función. Por lo tanto, de manera análoga al cálculo de límites de sucesiones el siguiente teorema entregará un set de límites denominados especiales que permitirán calcular límites de funciones.

Teorema 3. Cada una de las siguientes igualdades es válida.

a. 0senlim1xxx→=.

b. ()10lim1xxxe→+=.

c. 01coslim0xxx→−=.

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