Limites

PASO A LA FUNDAMENTACIÓN DEL ANÁLISIS INFINITESIMAL

(SEGUNDA MITAD DEL S.XVIII)

Utilizando infinitésimos pequeños y grandes, que surgen de la teoría de las razones primeras y

últimas de Newton, los matemáticos de la época obtienen solución para muchos de sus

problemas. La dificultad más importante para el desarrollo del análisis infinitesimal era la

necesidad de extender las operaciones del análisis a un mayor número de funciones, para lo que

se requería una idea clara de dependencia funcional y, para ello, fue necesario investigar el

significado del concepto de función y sus manipulaciones algebraicas. Los matemáticos del

siglo XVIII, que se preocuparon de la fundamentación del análisis, buscaban eliminar lagunas y

clarificar los matices místicos, no se dieron cuenta de la necesidad del concepto de límite.

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Euler (1707-1743) toma como punto de partida el cálculo diferencial de Leibnitz y el método

de fluxiones de Newton y los integra en una rama más general de las matemáticas, que, desde

entonces, se llama Análisis y se ocupa del estudio de los procesos infinitos. Se plantea la

regularidad de las funciones, introduciendo la función continua como sumas, productos y

composiciones de funciones elementales.

D'Alembert (1717-1783) crea la teoría de los límites al modificar el método de las primeras y

últimas razones de Newton. En el tomo IX de la Encyclopédie, D´Alembert escribe la siguiente

definición de límite:

En esta definición las variables son monótonas y el límite unilateral, es decir, la magnitud que

se aproxima no le puede superar, y así, aunque la aproximación es objetiva no se puede tener

un control completo de la misma.

Lagrange (1736-1813) trabajó con desarrollos de funciones en series de potencias Los

resultados conseguidos le hicieron creer que se podían evitar los límites y continuó haciendo

desarrollos en series de potencias, sin darse cuenta de que la convergencia de las mismas

necesitaba del concepto de límite.

SIGLO XIX Y PRINCIPIOS DEL SIGLO XX. ARITMETIZACIÓN DEL ANÁLISIS.

A finales del siglo XVIII y comienzos del XIX las obras de un gran número de matemáticos ya

reflejaban la necesidad objetiva de construcción de la teoría de límites como base del análisis

matemático y una reconstrucción radical de este último, en la que fueron determinantes la

clarificación del concepto de función, la aparición de nuevos problemas matemáticos y físicos.

De estos matemáticos destaco a:

Cauchy (1789-1857). Retoma el concepto de límite de D'Alembert, rechazando el

planteamiento de Lagrange, prescinde de la geometría, de los infinitésimos y de las velocidades

de cambio, dándole un carácter más aritmético, más riguroso pero aún impreciso. La definición

de límite que propone Cauchy (1821) es la siguiente:

“Se dice que una cantidad es límite de otra cantidad,

cuando la segunda puede aproximarse a la primera

más que cualquier cantidad dada por pequeña que

se la pueda suponer, sin que, no obstante la cantidad

que se aproxima pueda jamás sobrepasar a la cantidad

a la que se aproxima; de manera que la diferencia entre

una tal cantidad y su límite sea absolutamente inasignable.”

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“…, cuando los sucesivos valores que toma una variable

se aproximan indefinidamente a un valor fijo, de

manera que terminan por diferir de él en tan poco

como queramos, este último valor se llama el límite de todos los demás”

La noción de límite dada por D’alembert es más objetiva que la de Cauchy, ya que en ésta

aparece el término "tanto como queramos" que la subjetiviza. Define además infinitésimos

como una cantidad variable que converge a cero.

Bolzano (1781-1848) da una definición de continuidad basada en la de límite. De hecho la obra

de Bolzano se desarrolla de forma paralela a la de Cauchy, basada en la misma idea de límite.

Weierstrass (1815-1897) contribuyó con notoriedad a la aritmetización del análisis, dando una

definición satisfactoria del concepto de límite.

Weierstrass criticó la expresión "la variable se acerca a un límite" puesto que, según él,

esto sugiere tiempo y movimiento, y dio una formulación métrica, puramente estática,

definición bastante cercana a la que se utiliza hoy en día. Esta definición, que aparece en

la obra de su discípulo Heine Elemente, es la siguiente:

La noción de límite es ya, en esta etapa, una noción matemática que sirve como soporte a otras

como la continuidad, la derivada y la integral, hecho que ha contribuido a un uso

universalizado de la misma. Sin embargo, esta definición, que evoluciona desde la concepción

dinámica de Cauchy a una concepción estática, no es el final de un largo proceso evolutivo, ya

que en el siglo XX surgen concepciones de tipo topológico, ligadas a la generalización de los

conceptos del cálculo

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