Limites

LÍMITES

INTRODUCCIÓN

Analicemos la posible gráfica que generaría la función:

Para cualquier punto de x diferente de 1, se pueden utilizar varios procedimientos como el de asignar valores arbitrarios a x, para hallar los valores de f(x), pero en el punto x = 1, se hace un poco difícil el análisis de la gráfica, entonces para observar el real comportamiento de la gráfica de f(x), cerca del punto x = 1, consideramos dos grupos de valores de x.

Uno de los grupos sería el conjunto de números que se aproximen a uno por la izquierda y el otro, el conjunto de números que se aproximen por la derecha.

Para lo cual se crea una tabla de valores para los dos conjuntos de números:

Al localizar los puntos correspondientes se observa que la gráfica de f, es una parábola con un hueco en el punto (1, 2). Se puede concluir que aunque x no puede ser igual a 1 nos podemos acercar cuanto queramos a 1, y como resultado de este acercamiento, f(x)se aproxima cada vez más a 2. Utilizando la notación de límites se dice entonces que el límite de f(x) cuando x tiende a 1 es 2, y se denota como:

Otra forma de resolver el límite:

es desarrollando el cociente:

Que es la forma algebraica y más práctica de resolver esta clase de límites.

Desarrollando el ejercicio mediante una tabla de valores se llega a la misma respuesta.

DEFINICIÓN DE LÍMITE

El límite de una función, se puede expresar mediante la norma de que si f(x), se aproxima a un único número L, cuando x se aproxima a c por ambos lados, decimos que el límitef(x) cuando x tiende a c es L, y se denota por la expresión:

Propiedades de los límites

Es bueno recordar que el límite de una función f(x) cuando x tiende a c, no depende del valor de f en el punto x = c. Pero si sucede que el límite coincide con f(c), éste se puede evaluar por el método de sustitución directa, es decir:

Si se tiene un número real c y f (x) = g (x) con la condición de que x sea diferente de c, en un intervalo abierto que contenga a c. Si existe el límite de g(x) cuando x tiende a c, entonces el límite de f(x), también existe y será igual a:

Se ha visto anteriormente la forma algebraica de resolver límites de la cual se destacaba la manera sencilla de resolverlos, pues estos conceptos se pueden normalizar aplicando los siguientes pasos:

Si el límite f(x) cuando x tiende a c, no es posible evaluarlo por el método de sustitución directa, entonces se intenta hallar una función g, que coincida con la función f, para todo x = c, es decir, elegir g de tal forma que su límite se pueda calcular por sustitución directa. •

Aplicar la propiedad

LÍMITES DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRIGONOMÉTRICAS

Para desarrollar algunos límites algebraicos es necesario tener en cuenta ciertos límites básicos que están sujetos a la condición. Si b y c son números reales y n un entero positivo si c = 0, entonces:

Propiedades de las operaciones básicas entre límites

Si b y c son números reales, n un entero positivo, f y g funciones que se pueden resolver cuando x tiende a c, entonces se cumplen las siguientes

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