Linealizacion De Ecuaciones De Estado

Objetivo.

Realizar la simulación de un sistema en espacio de estados, del control del nivel de un tanque, dependiente de dos válvulas de flujo, con el fin de determinar las respuestas a diferentes tipos de entradas, tanto para un sistema linealizado y otro no linealizado.

Consideraciones Teóricas.

MODELADO EN EL ESPACIO DE ESTADOS.

Estado.

El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables, denominado variables de estado, de modo que el conocimiento de estas variables en t = t0, junto con el conocimiento de la entrada para t ≥ t0, determina por completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo t ≥ t0.

Variables de Estado.

Las variables de estado de un sistema dinámico son la que forman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del sistema dinámico. Si se necesitan al menos n variables para describir por completo el comportamiento de un sistema dinámico (por lo cual se proporciona la entrada t ≥ t0 y se especifica el estado inicial en t = t0, en el estado futuro del sistema se determina por completo), tales n variables son el conjunto de variables de estado.

Obsérvese que las variables de estado no necesitan ser cantidades medibles u observables físicamente. Las variables que no representan cantidades físicas y aquellas que no son medible u observables pueden seleccionarse como variables de estado.

Vector de Estado.

Si se necesitan n variables de estado para describir por completo el comportamiento de un sistema determinado, esas n variables de estado se consideran los n componentes de un vector x.

Funciones en el espacio de estados.

El espacio de n dimensiones, cuyos ejes de coordenadas están formados por el eje x1, x2, etc. En el análisis en el espacio de estados, nos concentramos en tres tipos de variables involucrados en el modelado de sistemas dinámicos:

Variables de entrada

Variables de salida

Variables de estado

Supóngase que un sistema de entradas y salidas múltiples contiene n integradores. También suponga que existen r entradas u1(t), u2(t), …, ur(t), y m salidas y1(t), y2(t), …, ym(t). Definan las salida de los integradores como variables de estado: x1(t), x2(t), …, xn(t). El sistema se representara de la siguiente manera:

x ̇_1 (t)=f_1 (x_1,x_2,…,x_n;u_1,u_2,…,u_r;t)

x ̇_2 (t)=f_2 (x_1,x_2,…,x_n;u_1,u_2,…,u_r;t)

⋮

(x_n ) ̇(t)=f_n (x_1,x_2,…,x_n;u_1,u_2,…,u_r;t)

Y las salidas se obtienen desde:

〖y_1 (t)=g〗_1 (x_1,x_2,…,x_n;u_1,u_2,…,u_r;t)

〖y_2 (t)=g〗_2 (x_1,x_2,…,x_n;u_1,u_2,…,u_r;t)

⋮

〖y_m (t)=g〗_m (x_1,x_2,…,x_n;u_1,u_2,…,u_r;t)

Entonces la representación vectorial o matricial será:

x(t)=[■(x_1 (t)@x_2 (t)@■(⋮@x_n (t) ))], f(x,u,t)=[■(■(f_1 (x_1,x_2,…,x_n;u_1,u_2,…,u_r;t)@f_2 (x_1,x_2,…,x_n;u_1,u_2,…,u_r;t)

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