Lugar geométrico de las raices

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INFORME PRACTICA DE LABORATORIO NO.1

ANALISIS EN EL LUGAR GEOMETRICODE LAS RAICES

Díaz Ordóñez, Sandra Ximena, Pejendino Jojoa, Roberto Carlos.

sxbutterfly, otreborsolracmetalp@gmail,hotmail.com

UNIVERSIDAD DE NARIÑO

Resumen— Esta práctica, con la ayuda del programa computacional Matlab, reforzaremos conceptos y reglas para la construcción e interpretación de graficas del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) y su importancia para el análisis de sistemas controladores proporcionales.  Para ello se aplicara la teoría entregada en clase, acerca del análisis del LGR para sistemas de control proporcional.

Índice de Términos— Matlab, LGR, Control Proporcional, Puntos de ruptura, Limite para la estabilidad, Asíntotas, Ganancia.

1. INTRODUCCIÓN

E

 ntre la muchas aplicaciones de Matlab, esta la generación del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR), donde con ayuda de comandos, mostrara una grafica la cual se  manipulara para la obtención de datos que se requieran, también la obtención de raíces a partir de valores específicos de K, donde se comparara las graficas con respecto a la variación de K, donde se observara los cambios y el comportamiento de la función de transferencia, con la ayuda de los conocimientos adquiridos en practicas anteriores y algunos nuevos comandos se obtendrán estas respuestas.

La guía de laboratorio tiene incluido un resumen para la obtención analítica de las graficas, con ellas se procederá a plantear la solución a los problemas propuestos en las actividades y con la ayuda de algunas instrucciones básicas para la generación del LGR, y la obtención de las raíces  a partir de valores específicos de k, se resolverá los problemas planteados en este laboratorio.

1. procedimiento

1. Se  implementara  un control proporcional a un sistema como se muestra: figura 1.

[pic 1]

figura 1. Sistema con control proporcional

1. Se implemento en Matlab una función que permitió visualizar la respuesta al escalón para diferentes valores de K:  figura 2.

[pic 2]

figura 2. Función en Matlab para el control proporcional

1. se analizo la respuesta transitoria del sistema ante una variación de K: figura 3.

[pic 3]

figura 3. Grafica de respuesta al escalón con diferentes valores de K

1. Se observa que cuando se varía   K  no se presenta off-set, debido a que una acción  integral reduce  a cero el error en estado estable (ess), es decir  hay una mayor estabilidad del sistema. Además se puede observar que al  colocar un valor negativo  de K no altera el error de estado estable.

1. Para este punto se considero siguiente sistema realimentado: figura 4.

[pic 4]

figura 4. Sistema realimentado

Para este sistema anterior se determino:

1. Se calculo el intercepto con las asíntotas en el eje real:

[pic 5]

EC [1]

PRPG(s)H(s)= son los polos o raíces de la FT

PRZG(s)H(s)= son los ceros de la FT

n=  grado del denominador

m= grado del numerador

Según la FT mostrada en la figura 4  tenemos que:

PRPG(s)·H(s) = [0,-1,-2,-4]

PRZG(s)·H(s) = [3]

Reemplazamos en la ecuación EC [1]:

σ1 = ((0-1-2-4)-(3))/(4-1) = -10/3

El intercepto de las asíntotas con el eje real es aproximadamente:

σ1 =3.3333

 b. Se calculo los ángulos de las asíntotas:

[pic 6]EC [2]

Donde:

i= |4-1|-1 = 2

Entonces:

θ0= ((2*0)+1) π/|4-1| = π/3= 60º

θ1= ((2*1)+1) π/|4-1| = π = 180º

θ2= ((2*2)+1) π/|4-1| = 5π/3 = 300º = -60º

 c. Se determino el  LGR así:

• Condición de ángulo:

[pic 7]

-∟s   -  ∟s+1   -   ∟s+2   -   ∟s+4 =  ±π (2k+1)

• Condición de magnitud:

[pic 8]

| (s-3) / (s(s+1)(s+2)(s+4) | = 1

• Puntos de inicio:

K= 0

s = 0

s = -1

s = -2

s = -4

• Puntos finales:

K=α  y   s=3

• Numero de ramas: el polinomio del  denominador es de orden cuatro, por tanto existen 4 ramas.

• Lugar Geométrico de las Raíces (LGR):

Para σ > 0

∟s= 0;    ∟s+1= 0;    ∟s+2= 0;    ∟s+4= 0

-0-0-0-0= 0 ≠ ± π (2k+1). No existe LGR en este intervalo.

Para -1< σ < 0

∟s= 180;     ∟s+1= 0;     ∟s+2= 0;      ∟s+4= 0

-180-0-0-0 = -180 = -π ((2*0)+1) = - π. Si existe LGR.

Para -2 < σ < -1

∟s= 180;     ∟s+1= 180;     ∟s+2= 0;     ∟s+4= 0

-180-180-0-0= -360 ≠ -π ((2*1)+1) = - 3π. No existe LGR.

Para -4 < σ < -2

∟s= 180;     ∟s+1= 180;     ∟s+2= 180;     ∟s+4= 0

-180-180-180-0= -3π = -π ((2*1)+1) = - 3π. Si existe LGR.

Para -∞ < σ < -4

∟s= 180;     ∟s+1= 180;     ∟s+2= 180;     ∟s+4= 180

-180-180-180-180= -4π ≠ ± π (2k+1). No existe LGR.

1. Se comprobó con la función  rlocus

Se introdujo en Matlab la función y transferencia:

[pic 9]

Transfer function:

          s - 3

--------------------------

s^4 + 7 s^3 + 14 s^2 + 8 s

Utilizando rlocus (G) se obtuvo: figura 5.

[pic 10]

figura 5. LGR del sistema utilizando rlocus.

En esta grafica se demuestra lo realizado analíticamente para hallar el LGR. Además se observa los polos y ceros de la función, el punto de ruptura y la intersección de las asíntotas con el eje real.

1.  Se considero  el sistema definido por:

[pic 11]

1. Se determino los puntos de ruptura:

Primero se parte de la condición de magnitud, la cual establece que:

[pic 12] EC [3]

Reemplazando nuestra función de transferencia se obtuvo:

[pic 13]

Para encontrar los puntos de ruptura se utiliza la siguiente ecuación:

[pic 14] EC [4]

Implementado la EC [4] en Matlab con la función diff, tenemos que:

[pic 15]

Se iguala acero:

[pic 16]

De aquí aplicando la formula

[pic 17]

De donde obtenemos los puntos de ruptura:

S1=3.817

S2= -1.453

S1 y S2 son los puntos de ruptura del sistema.

1. Se verifico el  comportamiento a partir del análisis en el LGR:

Se implemento el sistema en Matlab, y utilizamos la función rlocus: figura 6.

>> num3=[1 -8 15];

>> den3=[1 3 2];

>> G3=tf(num3,den3);

>> rlocus (G3)

[pic 18]

figura 6. LGR del sistema utilizando la función rlocus 

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