DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS , DIVISION DE UN TRAZO y LUGAR GEOMETRICO.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS , DIVISION DE UN TRAZO y LUGAR GEOMETRICO

1.- Un punto P(x,y) se mueve de modo que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos (-2,0) y (2,0) es 26 unidades. Demuestre que la ecuación resultante es x2 + y2 = 9.

Respuesta: 26))0()2(())0()2((222222=−+−++++yxyx

26)2()2(2222=+−+++yxyx

182222=+yx

922=+yx

2.- Sean los puntos P(x,y), A(1,0) y B(-1,0). El punto P describe un lugar geométrico sujeto a la condición PA + PB = 4, con PA y PB distancias:

a) Demuestra que la ecuación representativa del lugar geométrico es:

3x2 + 4y2 = 12.

b) Grafique 3x2 + 4y2 = 12, indicando centro y vértices.

Respuesta:

PA=22)1(yx++ y PB =22)1(yx+−

Entonces

PA +PB = 4

PA = 4 - PB /( ) 2

(PA)= 16 - 8PB +( PB) 22 222222)1()1(816)1(yxyxyx+−++−−=++

12)1(816122222+−++−−=++xxyxxx ()222/)1(8164yxx+−−=− )12(4168222yxxxx++−=+− 222484168yxxxx+−=+− 12432=+yx

3.-Determine los puntos P y Q que dividen al trazo en tres partes iguales, siendo A = (2, -6 ) y B = ( 5, 3 ). →AB

Respuesta:

A P Q B λ==21PBAP )3,3(32325211323621312−→=+=++=⇒==Pxxxyλλ )0,4(43252023662QxyQBAQ→=+⋅=⇒=−=⇒=

RECTA

1.- En el plano cartesiano determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,3) y que es paralela a la recta de ecuación 3x – 2y + 6 = 0

Respuesta: 233230623=⇒+=⇔=+−mxyyx.

Luego la ec.de la recta que es paralela a ésta y que pasa por el punto ( 1,3 ) es: 2323)1(233+=⇔−=−xyxy

2,.- Considere la recta L: hx + (h - 1)y - 18 = 0 con h ∈IR.

a)Determine el valor de h tal que L sea paralela a la recta de ecuación 3x - 2y - 11 =0

b)Calcule h para que el centro de la circunferencia de ecuación x2-8x+y2 -20y +112=0

pertenezca a la recta L.

Respuesta:

a) L y la recta 3x - 2y - 11 = 0 son paralelas si tienen igual pendiente

pendiente de L = , pendiente de la otra recta =

hasta aquí 3,0 puntos

= ⇔

parte final 4,0 puntos 1− 23−1−−hh53=23h

b)

4)10()4( 01122082222=−+−⇔=+−+−yxyyxx

Centro de la circunferencia es (4, 10)

Hasta aquí 4,0 puntos

Para que (4, 10)∈ L debe ser 4h + 10( h - 1) - 18 =0

Lo cual ocurre si 14 h =28 ⇔ h = 2

3.- Encuentre el valor de k, de modo que la recta 0)2(53=−++kykxpase por el punto ( -1, 4 ).

Respuesta:

Si la recta pasa por ( -1 , 4 ) , entonces este punto satisface su ecuación. 0)2(53=−++kykx

Luego se tiene : 901820245)1(3=⇔=+−⇔=−+⋅+−kkkk

4.-Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 5, -3 ) y es perpendicular a la recta . 0623=+−xy

Respuesta: 23232−=⇒−=⊥mxy

Luego la ecuación de la recta es: 2923)5(233+−=⇒−−=+xyxy

5.-Sabiendo que el punto Q( 9 , 2 ) divide al segmento que determinan los puntos P ( 6 , 8 ) y A ( x , y ) en la razón 73QAPQ= :

a) Hallar las coordenadas de A

b) Determinar la ecuación de la recta que pasa por A y es perpendicular al segmento PA.

Respuesta: )12,16(1216336348356203429010356210342910356,10342)2,9(731738,731736)2,9()−⇒−=∧==−∧==−∧=−+=∧+=∴⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=⇒⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛++++=Ayxyxyxyxyxyxa

b) 212616812)12,16()8,6(=⇒−=−−−==−LPAmmm ()162112:−=+∴xyLtienesependientepuntoecuaciónlaDado 0402:=−−YXLpordadaestápedidaecuaciónladecirEs

CONICAS

1.- Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice este sobre la recta de ecuación 032=−xy, que su eje sea paralelo al de coordenadas x y que pase por los puntos ()()1,3 5,3−y

Respuesta:

La ecuación de la parábola es: y reemplazando los puntos en esta ecuación se llega a: )(4)(2hxpky−=− 23)1(3)5(22=⇒−−−=−−khkhk

Como el vértice pasa por la recta satisface la ecuación: 34032=→=−hhk

Además 527343)25(42=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=p lo que lleva a que la ecuación de la parábola es: ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−34527)2(2xy

2.- Determine para que valor de la ecuación : representa una parábola con vértice en ( 4 , 1 ) k01082=++−kyxx

Respuesta:

()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−−=−⇒+−−=−⇒−−=−⇒=++−1016104 16104 108 01082222kyxkyxkyxxkyxx

por lo tanto 6k 11016=⇒=+−k

3.- Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia de ecuación que sea tangente a la recta 0176422=−+−+yxyx0743=+−yx

Respuesta:

Completando cuadrados en tenemos 0176422=−+−+yxyx ()()303222=++−yx

el centro es el punto (2,-3).

Para el radio de la circunferencia calculamos la distancia de (2,-3) a la recta , es decir 0743=+−yx 52200=+++=rBACByAxr

luego la ecuación pedida es ()()253222=++−yx

4.- Determine la ecuación de la circunferencia con centro en la recta y que es tangente a ambos ejes de coordenadas. 0 21 2y -5x =+

Respuesta:

Sea ( h, k ) el centro de la circunferencia. Como el centro pasa por la recta se cumple que: )1(02125=+−kh

Además, como la circunferencia es tangente a los ejes coordenados h = k.

Luego, reemplazando en la ecuación (1) se llega a:

khhh=−=⇒−=−72125

La ecuación de la circunferencia es: 49)7()7(22=+++yx

5.- La recta y = x + 1 , y la parábola y = x2 +3x – 4 , se cortan en dos puntos.

a) Encuentre dichos puntos.

b) Determine la ecuación de la recta que une ambos puntos.

Respuesta:

a) 4312−+=+xxx 0522=−+xx 2242±−=x 61±=x

luego los puntos son ( 6,61+− ) y ( 6,61−− ) .

b) La ecuación que une dichos puntos es 1+=xy

6.- Encuentre la ecuación de las siguientes curvas:

a) Una elipse con centro en el origen, un foco en punto F(3,0) y cuyo eje menor mide 8 unidades.

b) Una circunferencia en que su diámetro está determinado por los focos de la elipse anterior.

Respuesta:

a) Ecuación elipse: 12222=+byax. Por enunciado se sabe que c = 3 y b = 4. Luego: 25916222=+=+=cba 1162522=+⇒yx

b) Como el foco es el punto (3,0). Luego la ecuación de la circunferencia es: 3=⇒r 922=+yx

7.- Hallar la ecuación de una circunferencia cuyo centro está sobre el eje X y que pasa por los puntos ( 1, 3 ) y ( 4, 6 ).

Respuesta:

Como la circunferencia está centrada en el eje X, la ecuación es de la forma:

222)(Ryhx=+−

Como pasa por los puntos ( 1, 3 ) y ( 4, 6 ) deben satisfacer la ecuación; es decir: 222236)4(9)1(RhRh=+−=+−

Igualando las dos ecuaciones se llega a: 74263681692122=→=⇒++−=++−hhhhhh

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