MEDIATRICES DE UN CUADRILÁTERO

MEDIATRICES DE UN CUADRILÁTERO

Ya hemos demostrado que las mediatrices de un triángulo concurren en un mismo punto.  Esta propiedad, junto al hecho que dicho punto equidista de los extremos de los lados del triángulo, nos permite afirmar que:

- Existe una única circunferencia que pasa por tres puntos no alineados. O, tres puntos no alineados definen una circunferencia.

- Todo triángulo es inscriptible. 

Ahora bien, basta una comprobación empírica para ver que la concurrencia de las mediatrices de los lados no se se puede extender, tan ligeramente, a los cuadriláteros. 

Sin embargo, al mismo tiempo, podemos preguntarnos si existen cuadriláteros en los cuales las cuatro mediatrices concurren en un punto.

Si dicha situación se diese, el punto de intersección de las cuatro mediatrices equidistaría de los vértices del cuadrilátero y, por lo tanto, sería centro de una circunferencia que pasa por los cuatro vértices. En otras palabras el cuadrilátero sería inscriptible.

[pic 1]

En la ilustración podemos apreciar un cuadrilátero cuyas mediatrices concurren en un punto y en consecuencia dicho punto es centro de la circunferencia que circunscribe al cuadrilátero.

Lo llamativo del ejemplo es que, respecto de sus lados, no es un cuadrilátero especial (cuadrado, rombo, etc.), lo que nos lleva a reflexionar sobre una creencia muy extendida de que los cuadriláteros generales no poseen propiedades relevantes. Si bien la situación anterior no se verifica en cualquier cuadrilátero, tampoco se trata de los cuadriláteros que ilustran la mayoría de los libros de textos escolares.

Descubrir qué condiciones deben cumplir un cuadrilátero para que sea inscriptible (lo que equivale a afirmar que sus mediatrices concurren en un punto) nos lleva al estudio de los ángulos sobre una circunferencia. En particular, ángulos inscriptos, semiinscriptos y centrales.

En la Sección Archivos encontrarán el Módulo 7 para el abordaje de esta problemática.