Matematicas

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES

Se distinguen tres métodos algebraicos de resolución de sistemas:

• Sustitución

• Igualación

• Reducción

Notas:

1) Es importante insistir en que la solución de un sistema es una pareja de

valores. Es decir la solución son dos números reales, uno de ellos es el valor de

una de las incógnitas ( la 'x' en la mayoría de los ejercicios) y el otro el valor de

la otra ( normalmente la 'y'). Es un error muy frecuente el que alumnos como

vosotros den por terminado el ejercicio al encontrar el valor de la primera

incógnita.

2) Cada uno de los métodos que vamos a ver a continuación debe dar el mismo

resultado aplicado al mismo sistema. Si no es así es que hay algún error.

Casos especiales

También puede ocurrir que el sistema en cuestión no tenga solución o que tenga

infinitas. Esto lo debes haber visto al estudiar los sistemas desde un punto de

vista geométrico. Desde esta perspectiva tenemos dos rectas del plano y tres

posibilidades:

• las rectas se cortan en un punto (sistema compatible determinado),

• las rectas son coincidentes (sistema compatible indeterminado)

• las rectas son paralelas (sistema incompatible).

El siguiente cuadro nos muestra una clasificación de los sistemas lineales.

IES “DIEGO GAITÁN” José Antonio Ortega Ortega

Departamento de Matemáticas

Para poder distinguir unos casos de otros, al resolver el sistema de forma

algebraica, debemos seguir los pasos indicados según el método. Al llegar al

final podemos encontrarnos una de las cuatro situaciones siguientes:

• a x = b, con 'a' y 'b' dos números reales cualesquiera. En este caso

no hay problema al despejar x y el sistema tiene una única solución.

Es, por tanto, compatible determinado.

• a x = 0, con 'a', un número real cualquiera. En este caso al despejar

x nos quedaría x=0a

=0 . Por tanto el sistema tiene también una

única solución.

• 0 x = b, (ó 0 = b), con 'b' un número real cualquiera b≠0. En este

caso no es posible despejar 'x' pues la operación de dividir entre cero

es imposible (también puede interpretarse que 0 no puede ser igual a no

cero). Luego el sistema no tiene solución. Es incompatible.

• 0 x = 0, (ó 0 = 0). En este caso cualquier valor de x satisface la igualdad y ,

por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones que son los infinitos puntos de

las rectas coincidentes. Así el sistema es compatibe indeterminado. Este es

el caso más complicado de resolver. Se suele resolver haciendo x = t,

t∈ℝ y despejando y en función de 'x'. Veremos algún ejemplo más

adelante.

SISTEMASLINEALES

{ Compatibles {− Determinados solución única

− Indeterminados infinitas soluciones

tienen solucion

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