Matriz de la operación

MATRICES

Concepto:

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, ...

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Las matrices se suelen notar con letras mayúsculas y sus elementos si son genéricos con minúsculas y un subíndice que indica la fila y columa en que se encuentra, así a23 hace referencia al elemento que se encuentra en la fila 2 columa 3. Una matriz genérica de tres filas y tres columnas, de dimensión 3x3 es:

Notación de Leibniz

Se utiliza un elemento único acompañado de índice y subíndice, de manera tal que el índice indique la columna y el subíndice la fila.

Notación de Cauchy

Se utilizan elementos distintos uno para cada columna y a cada elemento se le acompaña de un subíndice que indica la fila del elemento.

Notación más usada

Se utiliza un elemento único acompañado de doble subíndice, de manera tal que el par de valores indique la fila y la columna en ese orden.

A la entrada de una matriz que se encuentra en la fila —ésima y la columna —ésima se le llama entrada o entrada —ésimo de la matriz. En estas expresiones también se consideran primero las filas y después las columnas.

Dada la matriz

Ejemplos:

1. Dada la matriz

es una matriz de tamaño . La entrada es 4.

2. La matriz

es una matriz de tamaño : un vector fila con 9 entradas.

Finalmente una matríz genérica se representa:

TIPOS DE MATRICES

1. Una matriz fila está constituida por una sola fila, es decir , m=1

Ejemplos

A= (1 4 3 )

2. La matriz columna tiene una sola columna, es decir ,n= 1

3. La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir, n = m y se dice, entonces que la matriz es de orden n

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Diagonal principal :

Diagonal secundaria :

Ejemplo de matriz cuadrada para n = 3:

4. En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

5. Una matriz escalar es una matriz diagonal que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales.

6. Una matriz identidad es una matriz diagonal que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.

7. Matriz triangular:

• En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

• En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

8. Matriz traspuesta:

Dada una matriz (A), se llama matriz traspuesta de (A) a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas:

(At)t

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