Metodos 5

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE COATZACOALCOS

PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS

ASIGNATURA:

METODOS NUMERICOS

Nombre del alumno:

Carrera: Ingeniería en Sistemas Computacionales

Tema: 5 Interpolación

Semestre: 4°

Grupo: “A”

Docente:

ÍNDICE

INTRODUCCION……………………………………………………………3

5.1 POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON………………..4

5.2POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE…………….5

5.3 INTERPOLACIÓN SEGMENTADA………………………………….7

BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………….10

INTRODUCCION

En algunos casos en una función sólo conocemos un conjunto de valores. Si queremos calcular el valor de la función para una abscisa diferente de las conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y, naturalmente, el valor que obtengamos será una aproximación del valor real. Existen varias formas de hacer esto, pero la más sencilla y una de las más utilizadas es la interpolación, que consiste en construir una función que pase por los valores conocidos (llamados polos) y utilizar ésta como aproximación de la función primitiva. Si se utilizan polinomios como funciones de aproximación, hablamos de interpolación polinómica. Polinomio Interpolante de Newton-Gregory Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equis espaciados, es la fórmula del Polinomio Interpolante de Newton-Gregory (en avance y retroceso). 

5.1 POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON.

Utilizar la matriz de Vandermonde para muchos nodos no es muy buena idea ya que el tiempo de cálculo para matrices grandes es excesivo. Es mucho más sencillo utilizar el método clásico de las diferencias divididas de Newton. Recordemos su definición, para dos nodos, se llama diferencia dividida de orden uno a:

Mientras que la diferencia dividida de orden n se obtiene por recurrencia a partir de las anteriores como:

El polinomio de Newton en diferencias divididas es entonces:

p(x)=f[x0]+(x-x0) f[x0,x1]+ (x-x0)(x-x1) f[x0,x1]+ +(x-x0)(x-x1) (x-xn-1) f[x0,x1, ... , xn]

El polinomio de interpolación con diferencias divididas de Newton, entre otros es la forma más popular además de las más útil.

INTERPOLACIÓN LINEAL

La forma más simple de interpolar es la de conectar dos puntos con una línea recta. Este método, llamado interpolación lineal, se muestra en la figura: ç

Usando triángulos semejantes, se tiene:

se puede reordenar como :

La cual es una fórmula de interpolación lineal. La notación f 1(X) indica que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden. Nótese que además de representar la pendiente de la linera que conecta los dos puntos, el termino

Es una aproximación de diferencias divididas finitas a la primera derivada. En general, entre más pequeño sea el intervalo entre dos puntos, más exacta será la aproximación.

INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA

Una estrategia que mejora la aproximación es la introducir cierta curvatura en la línea que conecta a los puntos. Si se dispone de tres datos, lo anterior se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden (llamado también polinomio cuadrático o parábola). Una manera conveniente para este caso es:

5.2POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE

Nuevamente tenemos los datos:

El polinomio de interpolación de Lagrange se plantea como sigue:

Donde los polinomios se llaman los polinomios de Lagrange, correspondientes a la tabla de datos.

Como se debe satisfacer que , esto se cumple si y para toda .

Como se debe satisfacer que , esto se cumple si y para toda .

Y así sucesivamente, veremos finalmente que la condición se cumple si y para toda .

Esto nos sugiere como plantear los polinomios de Lagrange. Para ser más claros, analicemos detenidamente el polinomio .

De acuerdo al análisis anterior vemos que deben cumplirse las siguientes condiciones para :

y , para toda

Por lo tanto, planteamos

como sigue:

Con esto se cumple la segunda condición sobre .

La constante c se determinará para hacer que se cumpla la primera condición:

...