Notacion Suma Y Distribucion De Frecuencias

NOTACION SUMATORIA

Para denotar la suma de una gran cantidad de indicadores estadísticos se emplea la letra griega ∑, que es llamada sigma. Esta letra indica «suma total». Si la variable x toma los valores (x1 + x2 + x3 +. . . . . + xn) entonces su notación sumatoria es:

Esta expresión se lee como, sumatoria de x, desde i = 1 hasta n, Aquí i = 1 debajo de la notación indica el elemento que se va a sumarse (i) y el primer elemento de la suma (1). La n indica el término final de la suma.

Algunas fórmulas de la operación sumatoria

Fórmula para la suma de n números consecutivos (1+ 2 + 3 + 4 + 5 ……+ n); que acabamos de ver arriba.

Fórmula para la sumatoria de los cuadrados de n números consecutivos (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + ……….+ n2) :

Fórmula para la sumatoria de los cubos de n números consecutivos (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73……..+ n3):

PROPIEDADES DE LA SUMATORIA

1) Cuando el límite inferior sea un entero mayor que 1, la cantidad de términos (sumandos) de una sumatoria se obtiene haciendo: límite superior (n) menos límite inferior (a) más la unidad (1):

Ejemplo:

Hallar la cantidad de términos de la siguiente expresión:

2) La sumatoria de una constante (k) es igual al producto (la multiplicación) entre dicha constante (k) y la cantidad de sumandos (términos):

Ejemplo:

Hallar la sumatoria de la expresión:

3) La suma del producto de una constante (k) por una variable (x), es igual a k veces la sumatoria de la variable.

Ejemplos:

Hallar la sumatoria de la expresión:

Hallar la sumatoria de la expresión:

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

En estadística, se le llama distribución de frecuencias a la agrupación de datos en categorías mutuamente excluyentes que indican el número de observaciones en cada categoría.1 Esto proporciona un valor añadido a la agrupación de datos. La distribución de frecuencias presenta las observaciones clasificadas de modo que se pueda ver el número existente en cada clase.

La tabla de frecuencias tiene como finalidad presentar en forma ordenada los valores que toman las diferentes características, de tal manera que permita la lector tener una visión del conjunto, ya sea aclarando el texto del informe o complementándolo. Bajo este principio, los datos se clasifican y ordenan de acuerdo con ciertas características cualitativas y cuantitativas, indicándose el número de vedes que se repite el atributo o la variable.

Las distribuciones de frecuencias son la herramienta más sencilla y más utilizada y eficaz cuando estamos rodeados de montones de datos, que no nos dicen nada si no hacemos más que enumerarlos. Al expresar estos datos en forma de una distribución de frecuencias, ya nos proporcionan diversas ideas. Puesto que las distribuciones de frecuencias se utilizan muy a menudo en el control de calidad, es necesario conocer la finalidad de las mismas y su interpretación y uso.

Dada la importancia de las distribuciones de frecuencias, derivada de que en todo proceso hay un momento en el que nos encontramos con un conjunto de datos sobre las variables a tratar, es de gran importancia formalizar el proceso de recogida, ordenación y presentación de los datos que, en la mayoría de las ocasiones, aparecerán dispuestos en tablas de frecuencias de simple o doble entrada que servirán para analizar las distribuciones de las variables.

PASOS PARA ELABORAR UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Para describir el procedimiento de construcción de la tabla de distribución de frecuencias, tomemos el siguiente ejemplo.

Ejemplo: El conjunto de datos presentados en seguida, representan las edades de 30 profesores del TEC.

Construye la tabla de distribución de frecuencias para ellos.

32 38 26 29 32 41 28 31 45 36

45 35 40 30 31 40 37 33 28 30

30 41 39 38 33 35 31 36 37 32

1. Cálculo del rango

Datos del problema

32 38 26 29 32 41 28 31 45 36

45 35 40 30 31 40 37 33 28 30

30 41 39 38 33 35 31 36 37 32

Del conjunto de datos en bruto, se busca el de mayor magnitud (VM) y el de menor magnitud (Vm). Con ellos se calcula el rango.

Rango = VM -Vm = 45 - 26 = 19

2. Designación del número de clases

Datos del problema.

32 38 26 29 32 41 28 31 45 36

45 35 40 30 31 40 37 33 28 30

30 41 39 38 33 35 31 36 37 32

Una vez calculado el rango, se procede a designar el número de clases, a través de cualquiera de los dos métodos siguientes:

a) Primer método.

En donde:

K: es el número de clases

N: es el número de datos por agrupar.

b) Segundo método.

n

k

n < 50 5 a 7

50 <= n < 100 6 a 10

100 <= n < 250 7 a 12

n >= 250 10 a 20

Usando el primer procedimiento tenemos que:

Para nuestro ejemplo, K = ln 30/ ln 2 = 4.907 que al redondear a enteros, quedaría una K = 5.

Si usamos el segundo método, podremos observar que n = 30 es menor que 50 y se nos recomienda, de acuerdo a la tabla, que tomemos de 5 a 7 clases, por lo tanto K = 5 es una buena asignación.

3. Cálculo de la amplitud

La amplitud se calcula redondeando el cociente del rango entre el número de clases (R/K) a la unidad más pequeña (u) inmediata superior en que se encuentran los datos brutos. Como los datos de nuestro ejemplo están en enteros, la unidad más pequeña es un entero u = 1, de tal manera que la amplitud será, R/K = 19/5 = 3.8 que al redondearlo al entero inmediata superior, nos dará la amplitud.

Amplitud: A = 4.

4. Cálculo de los límites de clase

Datos del problema.

32 38 26 29 32 41 28 31 45 36

45 35 40 30 31 40 37 33 28 30

30 41 39 38 33 35 31 36 37 32

Para construir los límites de clase (límite inferior Li y límite superior Ls) se coloca como límite inferior de la primera clase al valor más pequeño de los datos brutos, 26 para nuestro ejemplo, y cuatro enteros (la unidad más pequeña es un entero) más adelante, incluyendo el 26, tendremos el límite superior de la primera clase, 26 + 3 = 29 (se suma solo tres entero porque el 26 está incluido).

Clases Li - Ls

1 26 - 29

Para calcular el límite inferior de la segunda clase, hay que agregarle un entero al límite superior de la primera

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