Numero De Oro

EL NÚMERO DE ORO

La geometría, según cuentan los historiadores, nace a orillas del río Nilo. El faraón obligaba a pa¬gar los tributos proporcionalmente a la extensión de las tierras de cada propietario. Asimismo, las creci¬das y estiajes del Nilo obligaban a situar las marcas y los lindes de los campos de cultivo después de cada inundación . La medida de áreas, distancias y ángulos favoreció el desarrollo de una serie de técnicas para ejecutar estos procesos con precisión y lo que es más importante supuso el inicio de un proceso de abs¬tracción que convertía un accidente geográfico en una línea, una superficie de cultivo en un gráfico y las distancias lineales y angulares podían ser tratadas matemáticamente. En otras palabras, el inicio de la geometría a un nivel esencialmente práctico.

Fueron los inquietos y curiosos habitantes de Grecia quienes sistematizaron y formalizaron esas estructuras, descubriendo propiedades curiosas, elaboraron teoremas y formularon demostraciones que tenían validez universal. La estructura básica de la geometría del plano ha llegado intacta a nuestros días y sigue estudiándose o mejor dicho debiera seguir estudiándose tal como lo hicieron los griegos hace si¬glos.

De entre todas las facetas abarcadas por esa ciencia, voy a dedicar la charla de hoy a un elemento muy simple, incluso insultantemente simple, pero que en su sencillez encierra innumerables consecuen¬cias, aplicaciones e inesperadas propiedades. Voy a hablar del llamado nú¬mero FI (). Este número recibe su nombre del escultor Fidias (siglo V adC, autor del friso y del frontis del Partenón), quien utilizó am¬plia¬mente sus propiedades en su destacada obra artística.

Todo empieza con una línea recta. Imaginemos un segmento de una longitud dada l y ahora quere¬mos di¬vidirlo en dos partes, pero de la forma más bella posible, de la forma más armónica. Por ejemplo, sean a y b esos dos segmentos, tal que a + b = l.

El mayor grado de armonía se alcanza cuando la relación entre la longitud total y el segmento ma¬yor es igual a la relación entre el segmento mayor y el menor.

Vitrubio indicó que para que un todo dividido en partes desiguales pareciera hermoso, entre la parte mayor y la menor debe existir la misma relación que existe entre la mayor y el todo.

Matemáticamente, esto se expresa como.

Y desarrollando esta igualdad.

Resolviendo esta ecuación de segundo grado.

Tomando el valor positivo de la raíz, obtenemos que.

El número de oro, es un número irracional cuyo valor numérico es.

 = 1,618033989.....

Esta simple relación o cociente entre las longitudes de dos segmentos es la base de uno de los ca¬pítulos más curiosos y sugerentes de la Ciencia. Desde la antigüedad ha despertado el interés y la curiosi¬dad de filósofos, geómetras, matemáticos, pintores, arquitectos y escultores. A mi juicio, su capacidad de fascinación reside en el hecho de tratarse de un concepto estético primario que admite un intenso forma¬lismo matemático. No nos debe extrañar esa dualidad arte-matemática, los hombres cultos de otras épocas no establecían diferencia alguna entre el área de ciencias y el área de humanidades. La separación entre esas dos ramas del saber es uno más de los lamentables inventos pedagógicos de este siglo. Por ello, la ra¬zón áurea (bautizada así por Leonardo da Vinci) es un concepto curricular que ha desaparecido de los ac¬tuales planes de estudio pero su existencia nos acompaña en nuestra vida cotidiana como comprobaremos a lo largo de esta charla.

Pero volvamos a la definición inicial. El número de oro es como hemos dicho anteriormente sim¬plemente la razón entre dos segmentos pero es algo más de un simple cociente de longitudes, en su valor matemático lleva asociado un concepto estético, el canon de la belleza, de la proporción perfecta.

Por ejemplo, si pedimos a un grupo de personas que dibujen un rectángulo que resulte agradable a la vista o mejor aún, si pedimos que elijan entre una docena de rectángulos con diferentes proporciones entre su anchura y su altura comprobaremos que el rectángulo mayoritariamente elegido es aquel cuyos lados cumplen la relación.

No es de extrañar que las tarjetas de crédito adopten esta forma, son rectángulos áureos, acertada¬mente elegida su forma para así hacer de oro a quien las emite. El documento nacional de identidad espa¬ñol también es un rectángulo áureo.

Una forma sencilla de dibujar el rectángulo áureo es.

• partimos de un cuadrado de lado l.

• lo dividimos por la mitad

• con un compás pincho en A' y trazo el arco BB'

• la distancia OB' =

Para hallar la razón áurea de un segmento procederemos de la siguiente forma.

• sea AC un segmento de longitud a, el cual quiero dividir en dos partes que guarden entre sí la relación áurea.

• levanto en C la perpendicular de longitud a/2

• uno el punto A con el punto D.

• trazo el arco CB' con centro en D.

• trazo el arco B'B con centro en A

•

El número  está muy ligado al pentágono regular tanto el convexo como el estrellado. El pentá¬gono regular era el distintivo de los pitagóricos. Los pitagóricos se sentían fascinados por las propiedades de los números e hicieron importantes descubrimientos en música, al comprobar cómo al hacer vibrar una cuerda y su longitud fuera proporcional a ciertos números enteros, entonces se producían unos sonidos melodiosos, es decir, existían ciertas longitudes expresadas en forma de números asociados a la armonía de los sonidos y, por tanto, al deleite del espíritu. Esa escuela filosófica, más bien una secta religiosa, fas¬cinados por las propiedades del número de oro y su representación gráfica en el pentágono regular hicie¬ron suyo ese símbolo que siempre ha poseído unas connotaciones esotéricas. Para las invocaciones a los espíritus, al diablo, se valen de una escenografía donde siempre aparece el pentágono regular, como ele¬mento intermedio, como puerta de acceso entre la realidad y la irracionalidad.

• para la construcción del pentágono regular partimos de un cuadrado de lado l

• construimos el segmento áureo OD, tal que , por el método expuesto anteriormente.

• con centro en B' prolongo el arco BD hasta C'.

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