Optimización De Funciones

Objetivo:

Utilizar el cálculo diferencial y los criterios de la primera y segunda derivada, para resolver problemas de optimización

Procedimiento:

a. Demuestra que el

A = 2(b)(a) + 2(a)(h) + 2(b)(h)

A = 2(3x)(x) + 2xh + 2(3x)h

A = 6x² + 8xh

b. Si , obtén una expresión para en términos de .

6x² + 8xh = 200

    200 - 6x²

h = —————

       8x

    100 - 3x²

h = —————

       4x

c. Si , demuestra que el volumen .

    100 - 3x²

h = —————

       4x

4xh = 100 - 3x²

(3x)4xh    3x(100 - 3x²)

———— = ———————

   4           4

       300x - 9x³

3x²h = ——————

          4

       300x   9x³

V(x) = ——— - ——

        4     4

            9x³

V(x) = 75x - ——

            4

d. Encuentra .

           27x²

V'(x) = 75 - ———

            4

e. Con los criterios de la primera y segunda derivada, demuestra que el punto es un punto máximo.

V'(x) = 0

     27x²

75 - ——— = 0

      4

     75(4)    300     100     10²

x² = ——— = ——— = ——— = ———

      27      27      9       9²

       10²

x = √(———)

        9²

    10

x = ——

     9

V''(x):

           27x²

V'(x) = 75 - ———

            4

          54x

V ''(x) = - ———

          4

          27x

V ''(x) = - ———

          2

            27(10/9)

...