Optimización de funciones

[pic 1]

Formato Optimización de funciones

Datos del estudiante

[pic 2]

Instrucciones:

1. Realiza lo que se te pide.
2. Recuerda incluir el procedimiento.

1.- Determina si la función  es creciente o decreciente en  y .[pic 3][pic 4][pic 5]

Un punto de inflexión es un punto en la gráfica en donde la segunda derivada cambia de signo

Si f’’(x)>0 entonces f(x) es cóncavo hacia arriba.

Si f’’(x)<0 entonces f(x) es cóncavo hacia abajo

y=x4-4x3+3x2-3

y’=4x3-12x2+6x

y’’’=12x2-24x+6

evaluando en [pic 6]

y’’=12x2-24x+6[pic 7]

y’’ (- )=12(-)2-24(-)+6[pic 8][pic 9][pic 10]

y’’ (-)=21 por lo tanto[pic 11]

f’’(x)>0, la función en este punto es cóncava hacia arriba, es creciente

evaluando en x=1

y’’ (1) =12x2-24x+6

y’’ (1) = 12(1)2-24(1) +6

y’’ (1) =-6 por lo tanto

f’’(x)<0, la función en este punto es cóncava hacia abajo, es decreciente

2.- Determina los intervalos de concavidad de la función .[pic 12]

[pic 13]

x2-8[pic 14]

[pic 15]

Igualando a 0 se tiene que

=0[pic 16]

X=0

Sustituyendo el valor x=0

[pic 17]

[pic 18]

El punto de inflexión es (0,-5)

Para encontrar los intervalos de concavidad en la función

utilizaremos el criterio de la segunda derivada como se muestra a continuación y sustituyendo en los valores -3 y 2 para saber dónde es cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo.

f ' ' (x)=4 x

f ' ' (−3) =4 (−3) =−12

f ' ' (3) =4 (3) =12

por lo tanto, los intervalos de concavidad son

(-(0, +)[pic 19][pic 20]

3.- De acuerdo a la función   determina  los rangos en donde la función es[pic 21]

creciente y/o decreciente, así como los rangos de concavidad, favor de señalar el tipo de

concavidad que presenta.

 y=x4-4x3+3x2-3

y’=3x3 -12x2+6x

igualamos a 0 la primera derivada

y’=3x3 -12x2+6x = 0

factorizamos

x(4x2-12x+6) =0

x1=0

x2=1.5-0.5[pic 22]

x3=1.5+0.5[pic 23]

evaluamos puntos intermedios (elegidos aleatoriamente)

(- es decreciente[pic 24]

(1.5+0.5,+) es creciente [pic 25][pic 26]

(1.5-0.5,-) es decreciente [pic 27][pic 28]

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