Plano Real

Plano real:

Sistemas de coordenadas cartesianas en el plano real

El Conjunto R de los números reales puede ser representado mediante una recta real:

Para ello se ha establecido una función biyectiva entre el conjunto de los números reales R y una Recta L, de manera tal que:

a. A cada número real le corresponde un punto en la Recta

b. A cada punto de la Recta L, le corresponde un número real

El conjunto RxR, de todos los pares ordenados (x, y) de números reales, se puede representar mediante un Plano Cartesiano o Plano Real.

El Sistema de Coordenadas Cartesianas o Sistema de Ejes Cartesianos es una configuración geométrica formada por dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en el punto 0.

Sistema de Coordenadas Cartesianas

Al eje horizontal 0x se le conoce como Eje de las Abscisas, mientras que al eje vertical 0y se le denomina Eje de las Ordenadas. Es común también referirse a esos ejes como "Eje de las x" y "Eje de las y". Al punto 0 se le llama origen del Sistema de Coordenadas. Los puntos de las flechas en la Figura 1.1. Indican las direcciones de incremento sobre los ejes "x" y "y". Es decir, x aumenta de valor hacia la derecha, mientras y aumenta de valor hacia arriba. Al plano, formado por Eje de Abscisas y ordenadas se le conoce como Plano Real, ya que contiene todos los elementos del conjunto R de los números reales.

El eje de las abscisas en el Sistema de Coordenadas Cartesianas es semejante a la Recta Real. A la derecha del origen se representan los números positivos mientras que a la izquierda del origen se representan los números negativos. De manera similar, los puntos que están por arriba del origen sobre el eje de las ordenadas representan los números positivos, mientras que los puntos que están por debajo del origen sobre el eje de las ordenadas representan los números negativos.

Coordenadas de un punto

Si imaginamos un punto P situado en el Plano definido por el Sistema de Coordenadas de la Figura 1.2. ¿Cómo podemos establecer con precisión la ubicación de P en el Plano? Una forma es asociar cada punto con un par ordenado (a, b), donde la primera componente, a, está relacionada con el eje x, y se le denomina abscisa del punto, mientras que la segunda componente, b, se relaciona con el eje y, y se le denomina ordenada del punto.

La abscisa y la ordenada corresponden a las coordenadas del punto y pueden tener un valor positivo o negativo.

De lo dicho anteriormente, puede deducirse lo siguiente:

1. A cada punto P del Plano Real, le corresponde un par ordenado.

2. Dado un par ordenado (a, b) en el plano real, existe sólo un punto con esas coordenadas.

Al punto P se le puede representar simbólicamente como P(x, y), donde "x" y "y" son las abscisas y la ordenada de P. Así, por ejemplo, podemos escribir:

P(3, 4) Abscisa = 3 P(-3, 4) Abscisa = -3

Ordenada = 4 Ordenada = 4

P(-3, -4) Abscisa = -3 P(3, -4) Abscisa = 3

Ordenada = -4 Ordenada = - 4

Ejemplo de ubicación de puntos en el Plano.

Determina la ubicación en el Plano Cartesiano de los siguientes puntos:

P1 (3, 2) P2 (-2, -4) P3 (-3, 3) P4 (1, -2)

Puntos notables en el sistema de coordenadas cartesianas

a. Coordenadas de origen: el punto 0, origen del Sistema de Coordenadas Cartesianas, tiene abscisa cero y ordenada cero y por tanto, puede escribirse como P (0, 0).

b. Coordenadas de un punto situado sobre el eje de las abscisas: cualquier punto situado sobre el eje x tiene como ordenada cero y por tanto puede escribirse como P(x, 0)

c. Coordenadas de un punto situado sobre el eje de las ordenadas: Cualquier punto situado sobre el eje y tiene como abscisa cero y por tanto puede escribirse como P(0, y)

Cuadrantes

Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes llamados "Cuadrantes". Tenemos así, el primero (I), segundo (II), tercero (III) y cuarto (IV) cuadrante. Observa que los cuadrantes se definen en sentido contrario a las agujas del reloj.

El eje de las abscisas en el Sistema de Coordenadas Cartesianas es semejante a la recta real ya estudiada por ti. A la derecha del origen se representan los números positivos mientras que a la izquierda del origen se representan los números negativos. De manera similar los puntos que están por arriba del origen el eje de las ordenadas representan los números positivos, mientras que los puntos que están por debajo del origen sobre el eje de las ordenadas representan los números negativos.

(-, +) (+, +)

(-, -) (+, -)

Observa que:

a. En el primer cuadrante (I) están todos los puntos de coordenadas (x, y), tales que:

b. x > 0 (abscisa positiva)

y > 0 (ordenada positiva

x < 0 (abscisa negativa)

x > 0 (ordenada positiva)

c. En el segundo cuadrante (II) están todos los puntos de coordenadas (x, y) tales que:

x < 0 (abscisa negativa)

x < 0 (ordenada negativa)

d. En el tercer cuadrante (III) están todos los puntos de coordenadas (x, y) tales que:

e. En el cuarto cuadrante (IV) están todos los puntos de las coordenadas (x, y) tales que:

X > 0 (abscisa positiva)

y < 0 (ordenada negativa)

Además;

Todo punto de eje horizontal x tiene ordenada nula. Es de la forma (x, 0)

Todo punto de eje vertical tiene abscisas nula. Es de la forma (0, y).

Los resultados anteriores podemos resumirlos en el siguiente cuadro:

Abscisa Ordenada

Cuadrante I + +

Cuadrante II - +

Cuadrante III - -

Cuadrante IV + -

Eje x + ó - 0 (cero)

Eje y 0 (cero) + ó -

Ejemplo:

a. ¿Cuáles son las coordenadas de un punto que está a 4 unidades a la izquierda del eje "y" y a 3 unidades por encima del eje "x"?

b. Solución:

La abscisa es – 4 y la ordenada es 3, por lo tanto, las coordenadas del punto son (-4, 3)

Solución:

Los puntos se presentan en la figura:

(1, -5) está en el IV Cuadrante

(3, 4) está en el I Cuadrante

(-2, 0) está en el eje x

(5, -1) está en el IV Cuadrante

(0, -3) está en el eje y

(-2, -4) está en el III Cuadrante

c. Dibujar los puntos (1, -5), (3, 4), (-2, 0), (5, -1), (0, -3), (-2, -4) e indicar en qué cuadrante o eje se encuentran.

d. Representar gráficamente el conjunto:

A = ﹛ (x, y) / y = 3x –4, para x = 0, 1, 2

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