Práctica 5 resuelta. Integrales indefinidas

[pic 1]

INTEGRALES INDEFINIDAS

1. Verificar si F(x) es o no una primitiva de f (x) .

a) F(x) = 𝑥3 + x +1        f(x) = 𝑥2 +[pic 2][pic 3]

12        4

F ´(x) = 3𝑥2 + 1 = 𝑥2 + 1 = f(x) entonces[pic 4][pic 5][pic 6]

12        4

b) F(x) = sen(x) + cos(x)        f(x) = cos(x) + sen(x)

𝐹 ´(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + (−𝑠𝑒𝑛(𝑥)) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) – 𝑠𝑒𝑛(𝑥) entonces[pic 7]

c) F (x) = ln(x) + 𝑒𝑥        f(x) = 1 + 𝑒𝑥[pic 8]

𝑥

F ´(x) = 1 + 𝑒𝑥 = f (x) entonces[pic 9][pic 10]

𝑥

1. F(x) = sen(x) – x3        f(x) = cos(x) – x2

F ´(x) = cos(x) – 3x2 entonces[pic 11]

1. F(x) = e5x + cos(2t)        f(x) = 5e5x

Como la variable es x, cos(2t) es una constante y su derivada es 0

𝐹 ´(𝑥) = 𝑒5𝑥. 5 + 0 = 5𝑒5𝑥 = 𝑓 (𝑥)        entonces[pic 12]

f) F(x) = ln(6x) – ln(e)        f (x) = 1 − 1[pic 13][pic 14]

F ´(x) = 1 . 6 − 0 = 1[pic 15][pic 16][pic 17]

entonces

𝑥        𝑒

6𝑥        𝑥

g) F(x) = 𝑥3[pic 18]

𝑒𝑥

f(x) = 3𝑥2−𝑥3

𝑒𝑥[pic 19][pic 20]

F ´(x) = 3𝑥2𝑒𝑥−𝑥3𝑒𝑥  = 𝑒𝑥(3𝑥2−𝑥3) = 3𝑥2−𝑥3[pic 21][pic 22][pic 23]

entonces

(𝑒𝑥)2

(𝑒𝑥)2

𝑒𝑥

1. Resolver las siguientes integrales inmediatas

a)∫ 2𝑥3 − 3𝑥 + 6𝑑𝑥

Estas integrales son inmediatas porque podemos encontrar su primitiva en la tabla, aunque a veces sea necesario realizar alguna operación para transformarla

∫ 2𝑥3

− 3𝑥 + 6𝑑𝑥

= 2 1

4[pic 24]

𝑥4

− 3. 1

2[pic 25]

𝑥2

+ 6𝑥 + k =

b)∫ 5√𝑎𝑥3𝑑𝑥[pic 26][pic 27]

1

5        3        3

[pic 28]

1        3        1        3

1  1        8

[pic 29]

∫ √𝑎𝑥

𝑑𝑥 =∫(𝑎𝑥

)5 𝑑𝑥 =∫ 𝑎5. 𝑥5 dx =𝑎5 ∫ 𝑥5 dx =𝑎5 8 𝑥5 + k

5

8[pic 30]

[pic 31]

5   1   5[pic 32]

= 𝑎5𝑥 +k =

8[pic 33]

c)∫ 1[pic 34]

√𝑥

+ 𝑒𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥

1

∫[pic 35]

√𝑥[pic 36]

+ 𝑒𝑥

− 2𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥

= ∫ 𝑥

1

2  + 𝑒𝑥[pic 37]

− 2𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥

=  1

[pic 38]

1/2

1

𝑥2   + 𝑒𝑥

− 2𝑠𝑒𝑛(𝑥)+k =

[pic 39]

d)∫(√𝑥 + 1)(𝑥 − √𝑥 + 1)𝑑𝑥[pic 40][pic 41]

En este caso, no podemos reconocer la primitiva de un producto pero sí es posible resolver esa multiplicación aplicando propiedad distributiva:

...