Práctica Control Moderno

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Reporte Práctica N°8

Sea un sistema regulador, en donde la planta está dada por

𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢

𝑦 = 𝐶𝑥

donde:

𝒙𝟏

𝟎        𝟏        𝟎

𝒙𝟏        𝟎

𝒙𝟏        𝟏

[𝒙𝟐̇  ] = [  𝟏        𝟎        𝟏  ] [𝒙𝟐] + [𝟎] 𝒖        𝒚 = [𝟏        𝟎        𝟎] [𝒙𝟐]   𝒙𝟎 = [  𝟎  ]

𝒙𝟑

−𝟕        −𝟔        −𝟔

𝒙𝟑        𝟏

𝒙𝟑

−𝟏

[pic 6]Imprima el procedimiento para cada uno de los siguientes incisos.

1. Demuestre que el sistema es completamente controlable.
2. Demuestre que el sistema es completamente observable
3. Obtenga la matriz de realimentación de ganancia de estados 𝐾 tal que los polos de lazo cerrado deseados estén ubicados en:

𝒔𝟏 = −𝟐 + 𝟒𝒊        𝒔𝟐 = −𝟐 − 𝟒𝒊        𝒔𝟑 = −𝟏𝟎

1. Obtenga la matriz de ganancia del observador 𝐾𝑒  tal que los polos del observador estén ubicados en

𝒔𝟏 = −𝟏𝟎        𝒔𝟐 = −𝟏𝟎        𝒔𝟑 = −𝟏𝟎

1. Construya el diagrama de bloques utilizando 𝒙𝒄𝒐𝒔, introduciendo los datos obtenidos anteriormente.

2. Obtenga la gráfica de respuesta en el tiempo de los estados del observador x.
3. Obtenga la gráfica de respuesta en el tiempo de los estados del observador 𝑥̃.
4. Grafique la señal de control 𝑢 = −𝐾𝑥̃
5. Grafique la señal de error 𝑒 = (𝑥 − 𝑥̃) y verifique 𝑒 = 0
6. Explique cada comando utilizado en la práctica.
7. Conclusiones

Nota: Todas las gráficas deberán llevar título, etiquetas en los ejes e identifique con etiquetas cada una de las gráficas.

[pic 7]Objetivo

Hacer uso de los comandos del Scilab y el método de asignación de polos para el diseño de un observador.

Reporte

[pic 8]

1. Demuestre que el sistema es completamente controlable

[pic 9]

Para este inciso, primero se declaran las matrices A, B, y C. Después se usa el comando cont_mat(A,B) para obtener la matriz de controlabilidad del sistema.

[pic 10]Se declara el rango de la matriz con el comando rank() y se obtiene el mismo rango; se ve que el rango de la matriz es igual a n=3 por lo que se puede decir que el sistema es completamente controlable.

1. Demuestre que el sistema es completamente observable

[pic 11]

Obtenemos la matriz de observabilidad con el comando obsv_mat(A,C) y almacenamos el valor en la variable OB, y para calcular el rango de la matriz de observabilidad usamos el comando rank(). Obteniendo el rango de la matriz, se ve que el rango de la matriz es igual a n=3, por lo que se puede decir que el sistema es completamente observable.

1. [pic 12]Obtenga la matriz de realimentación de ganancia de estados K tal que los polos de lazo cerradodeseados estén ubicados en:

𝒔𝟏 = −𝟐 + 𝟒𝒊  𝒔𝟐 = −𝟐 − 𝟒𝒊        𝒔𝟑 = −𝟏𝟎

[pic 13]

Declaramos los polos de lazo cerrado deseados para calcularla matriz de retroalimentación de ganancia de estados, para finalmente obtener el resultado de:

𝑲 = [𝟐𝟎𝟕 𝟓𝟓 𝟖]

1. [pic 14]Obtenga la matriz de ganancia del observador Ke tal que los polos del observador estén ubicados en

𝒔𝟏 = −𝟏𝟎        𝒔𝟐 = −𝟏𝟎 𝒔𝟑 = −𝟏𝟎

[pic 15]

Los nuevos polos deseados los almacenamos en la variable J, utilizamos el comando ppol con las matrices AT, CT y J en donde al final dicho resultado se tendrá que aplicar nuevamente una transpuesta y al resultado de esto se almacenará en la variable Ke. Después de realizar el procedimiento anterior podemos observar que la matriz Ke es de valor:

𝟐𝟒

𝑲𝒆 = [𝟏𝟓𝟏]

−𝟓𝟏

[pic 16][pic 17]

[pic 18][pic 19]

[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

Primero se declara la siguiente información en la consola de Scilab

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